Tübitak Genç Takım Seçme 2016 Soru 5

[MATSEVER 27]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ ve $C$ köşelerinden geçen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $D$ ve $E$ dir. $E$ den geçen ve $BC$ ye paralel olann doğru $AC$ doğrusunu $F$ de, $D$ den geçen ve $AB$ ye paralel olan doğru $AC$ doğrusunu $G$ de kesiyor. $F$ den $DG$ ve $GE$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $K$ ve $L$ olmak üzere $KL$ doğrusu $ED$ doğrusunu $M$ de kesiyor. Buna göre $FM \perp ED$ olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$\angle DEF=\alpha$ olsun. Paralellikten $\angle EDB=\alpha$ olur. $AEDC$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle EAC=\alpha$ olur. Yine paralellikten $\angle DGF=\alpha$ olur. Sonuç olarak $\angle DEF=\angle DGF$ olur. Yani $EGFD$ bir kirişler dörtgenidir.

Bir üçgenin çevrel çemberinin üstünde alınan herhangi bir noktadan bu üçgenin kenarlarının belirttiği doğrulara inilen dikme ayakları doğrudaştır. Bu doğruya Simson Doğrusu denir.

O zaman $EGFD$ çemberinde $LK$ Simson Doğrusudur. Dolayısıyla $FM \perp ED$ dir. İspat biter.