Tübitak Genç Takım Seçme 2016 Soru 4

[MATSEVER 27]

$AB\parallel CD$ ve $|AB|<|CD|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $AC$ ile $BD$ doğruları $E$ de kesişiyor. $EBC$ üçgeninin çevrel çemberinin $E$ noktasını içermeyen $BC$ yayının orta noktası $F$ olmak üzere $EF$ ile $BC$ doğruları $G$ de kesişiyor. $BFD$ üçgeninin çevrel çemberi $DA$ ışınını $A \in [HD]$ olacak biçimde bir $H$ noktasında kesiyor. $AHB$ üçgeninin çevrel çemberi $AC$ ve $BD$ doğrularını sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $BM$ ile $GH$ doğruarı $P$ de, $GN$ ile $AC$ doğruları $Q$ da kesişiyorsa $P,Q,D$ noktalarının doğrudaş olduğunu kanıtlayınız.

(Şahin Emrah)

[Arman]

$G$ noktasınının $A,H,B$'den geçen çember üzerinde olduğunu gösterelim.$EFB$ ve $EGC$ üçgenlerinin benzerliğinden $\dfrac{EB}{EG}=\dfrac{EF}{EC}\Longrightarrow EF.EG=EB.EC$ ve $ABCD$ yamuk olduğundan $EB.EC=AE.ED\Longrightarrow EF.EG=AE.ED \Longrightarrow \dfrac{EF}{ED} = \dfrac{AE}{EG}$.
 
$m(\widehat{BEF})= m(\widehat{FEC}) \Longrightarrow  m(\widehat{AEG})= m(\widehat{DEF}) $ VE $\dfrac{EF}{ED} = \dfrac{AE}{EG}$ olduğundan $AEG\approx FED$ gelir.$m(\widehat{EAG})=m(\widehat{EFD})=\alpha$ dersek , $m(\widehat{MBG})=\alpha$ olduğunu göstermeliyiz.

 $m(\widehat{ECB})=m(\widehat{EFB})$ olduğundan $m(\widehat{AMB})=m(\widehat{DFB})$ olduğunu gösterelim.

$m(\widehat{AMB})=180^\circ-m(\widehat{DHB})=m(\widehat{DFB})$ olduğundan $A,H,B,G,M,N$ noktalarının çembersel olduğunu ispatlamış olduk.

$A,H,B,G,M,N$ çembersel olduğundan pascal teoreminden $P,Q,D$ doğrusal gelir ve ispat biter.