Çözüm (Lokman GÖKÇE): $x^4 + 4 $ ifadesi için iyi bilinen terim ekleme çıkarma yöntemiyle
$$ x^4 + 4 = (x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 +2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x +2)(x^2 +2x +2) \tag{1} $$
biçiminde çarpanlara ayırabiliriz. $x$ bir tek sayı iken $(x^2 - 2x +2, x^2 +2x +2) = (x^2 - 2x +2, 4x) = (x^2 - 2x +2, x) = (2, x) = 1$ olup $x^2 - 2x +2$ ve $x^2 +2x +2$ aralarında asaldır.
$ x=19^n $ değerini $(1)$ eşitliğinde yazarsak, $A=19^{2n}+2\cdot 19^n +2$ ve $B=19^{2n}-2\cdot 19^n +2$ olmak üzere,
$$19^{4n}+4 = (19^{2n}+2\cdot 19^n +2)(19^{2n}- 2\cdot 19^n +2) = A\cdot B \tag{2}$$
olur. Böylece $19^{4n}+4$ sayısı, $A$ ve $B$ pozitif tam sayı çarpanlarına sahiptir. Yani en az $2$ farklı asal çarpan olduğunu anlarız. $A\geq 401$ ve $B \geq 325$ tir.
$\mod {5}$ te inceleme yaparsak,
$n$ çift iken $A \equiv 1 + 2\cdot (-1)^n +2 \equiv 0 \pmod{5}$ ve
$n$ tek iken $B \equiv 1 - 2\cdot (-1)^n +2 \equiv 0 \pmod{5}$
olur. $19^{4n}+4$ sayısının tam iki asal çarpanı olabilmesi için ya $A=5^m$, $B\neq 5$ bir asal ya da $B=5^m$, $A\neq 5$ bir asal biçiminde ($m\in \mathbb Z^+$) olmalıdır. Bunun mümkün olmadığını gösterelim.
1. Durum: $19^{2n}+2\cdot 19^n +2=5^m$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümlerini araştıralım. $\mod {19}$ da incelersek $5^m \equiv 2 \pmod{19}$ olur. Fakat
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
m & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
5^m \pmod{19} & 5 & 6 & 11 & 17 & 9 & 7 & 16 & 4 & 1 \\ \hline
\end{array}
$$
olduğundan $5^m \not\equiv 2 \pmod{19}$ olur. Dolayısıyla $A$ nın $5$ ile tam bölünebildiği durumda, $5$ ten farklı bir asal çarpan daha içermelidir.
2. Durum: $19^{2n}-2\cdot 19^n +2=5^m$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümlerini araştıralım. $\mod {19}$ da incelersek yine $5^m \equiv 2 \pmod{19}$ olur. Yukarıdaki tabloya göre, $5^m \not\equiv 2 \pmod{19}$ olduğunu biliyoruz. Böylece $B$ nin $5$ ile tam bölünebildiği durumda, $5$ ten farklı bir asal çarpan daha içermelidir.
Her iki durumda da $19^{4n} +4$ sayısının en az $3$ farklı asal çarpanı olduğunu anlarız. $n=1$ için $19^4 + 4 = 401\cdot 325 = 5^2 \cdot 13 \cdot 401 $ örnek durumu vardır.