Tübitak Lise Takım Seçme 1993 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Pozitif tamsayılardan oluşan, ilk terimi $16$ olan ve her teriminin farklı pozitif bölenlerinin sayısı $5$ ile bölünen sonsuz bir aritmetik dizinin var olduğunu gösteriniz. Bu tür diziler içinde ortak farkı en küçük olanını bulunuz.

[geo]

$16=2^4$ sayısının $5$ pozitif böleni var. $16$ dan sonra $5$ bölenli en küçük sayı $3^4=81$. $10$ bölenli en küçük sayı $2^4\times 3=48$. Bu durumda ilk adayımız $16,48,\dots 16+32k$ dizisi. Gerçekten de $16+32k=16\left(2k+1\right)=2^4(2k+1)$ sayılarının bölen sayısı her zaman $5$ e bölünür. Bundan sonra bu özelliği sağlayan dizi varsa, ortak farkı $32$ den büyük olacağı için bu tarzdaki diziler arasından en küçük ortak farka sahip olanı $16+32k$ dizisidir.