Balkan Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 4

[ArtOfMathSolving]

Bir matematik yarışmasında yarışmacıların bazıları arkadaştır; arkadaşlıklar karşılıklıdır, yani $A$ $B$ nin arkadaşı ise, $B$ de $A$ nın arkadaşıdır.
$n\ge3$ farklı yarışmacı $A_1, A_2, \ldots,A_n$ için, her $1\le i\le n$ için $A_i$, $A_{i+1}$ in arkadaşı değilse ($A_{n+1}=A_1$), ve bu yarışmacılar arasında arkadaş olmayan başka ikili bulunmuyorsa bu yarışmacılara zayıf arkadaşlık döngüsü diyelim.

Aşağıdaki koşul sağlanmaktadır:

"her $C$ yarışmacısı ve $C$ yi içermeyen $S$ zayıf arkadaşlık döngüsü için, $S$ den $C$ ile arkadaş olmayan yarışmacıların kümesi $D$, en fazla bir eleman içermektedir"

Yarışmadaki tüm yarışmacaların üç odaya ayrılabileğini ispatlayınız, öyle ki, aynı odadaki herhangi iki yarışmacı arkadaş olsun.