Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 13

[ERhan ERdoğan]

$$\sum_{k+l=0}^{97}\binom{100}{k}\binom{100-k}{l}\binom{100-k-l}{97-k-l}$$ toplamının değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ 3^{100}\cdot{53900}
\qquad\textbf{b)}\ 3^{97}\cdot{107800}
\qquad\textbf{c)}\ 3^{105}\cdot{10780}
\qquad\textbf{d)}\ 3^{100}\cdot{107800}
\qquad\textbf{e)}\ 3^{98}\cdot{53900}
$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed E$

$ n_{1} , n_{2} , ... , n_{k}$ negatif olmayan tamsayılar ve $n = n_{1} + n_{2} + ... + n_{k}$ olmak üzere,

$\left( \begin{matrix} n \\n_{1} , n_{2} , ... , n_{k} \end{matrix} \right) = \dfrac {n!} {n_{1}! n_{2}! ...  n_{k}!}$

şeklinde tanımlansın. Multinom açılımı

$(x_{1} + x_{2} + ... +x_{k})^n = \sum _{n_{1} , n_{2} , ... , n_{k}=1}^{n} \left( \begin{matrix} n \\n_{1} , n_{2} , ... , n_{k} \end{matrix} \right) x_{1}^{ n_{1}}.x_{2}^{ n_{2}}...x_{k}^{ n_{k}}$

şeklindedir. Şimdi burada kullandığımız k sayısı temsili bir k sayısıydı. Birazdan kullanacağımız k  sayısı, sorudaki k sayısı olacaktır. Öncelikle, $\binom{a}{b} =  \dfrac {a!} {b!.(a-b)!} $özdeşliğini kullanarak

$\left( \begin{matrix} 100\\ k \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 100-k\\ l \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 100-k-l\\ 97-k-l \end{matrix} \right).6 = \left( \begin{matrix} 100\\ k,l,97-k-l \end{matrix} \right)$

olduğunu rahatça görebiliriz. $n_{1} = k , n_{2} = l$ ve $n_{3} = 97-k-l$ olarak alalım. $n = k+l+97-k-l = 97$ olacaktır. Ayrıca soruda aradığımız toplama $S$ diyelim. Buna göre

$(x_{1} + x_{2}+ x_{3})^{97} = \sum _{k , l , 97-k-l=1}^{97} \left( \begin{matrix} 97 \\k , l , 97-k-l \end{matrix} \right) x_{1}^{k}.x_{2}^{l}.x_{3}^{97-k-l}$

Katsayılar toplamını istediğimiz için $x_{1} = x_{2}= x_{3} = 1$ verelim.

$3^{97} = \sum _{k , l , 97-k-l=1}^{97} \left( \begin{matrix} 97 \\k , l , 97-k-l \end{matrix} \right) = 6S/100.99.98.$

$S = 3^{98}.53900$