Tübitak Lise Takım Seçme 2000 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Herhangi bir sonsuz uzunluktaki üçgen prizmanın, kesişimleri eşkenar üçgen olacak şekilde bir düzlemle kesilebileceğini gösteriniz.

[geo]

Prizmanın tabanı $O(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $B(b,0,c)$ olsun.
$p$ ve $q$ değişken olmak üzere $P(a,p,0)$ ve $Q(b,q,c)$ noktaları alınıyor. $\triangle OPQ$ eşkenar olacak şekilde $(p,q)$ ikilisi bulunabilirse, $OPQ$ düzlemi aradığımız düzlem olacak. $OP=OQ=PQ$ eşitliğinden $$a^2 + p^2 = b^2 + q^2 + c^2 = (b-a)^2 + (p-q)^2 + c^2.$$ Uygun düzenlemelerle $$\begin{array}{rclcl}
p^2 - q^2 &=& b^2 + c^2 - a^2 &=& r\\
p^2 - 2pq &=& 2ab-a^2 &=& s\\
\end{array}$$ elde ederiz. $q^2 = p^2 - r$ ifadesini ikinci denklemde yerine yazarsak $$\begin{array}{rcl}
p^2 - 2p\sqrt {p^2 - r} &=& s \\
p^2  - s &=& 2p\sqrt {p^2 - r} \\
p^2  - s &=& \sqrt {4p^2(p^2 -r)} \\
\end{array}$$ $p^2 = x$ deyip kare alırsak $$\begin{array}{rcl}
(x-s)^2 &=& 4x(x-r) \\
x^2 + s^2 - 2xs &=& 4x^2 - 4xr \\
3x^2 -x(4r-2s) - s^2 &=& 0
\end{array}$$ $p^2 = \dfrac{4r-2s + \sqrt {(4r-2s)^2 + 12s^2}}{6} = \dfrac{2r-s + \sqrt {(2r-s)^2 + 3s^2}}{3} \geq 0$ olduğu için denklem sistemini sağlayan $p$ bulunur. Bunun yanında $q^2 = p^2 - r \geq 0$ olmalı. $$q^2 = \dfrac{-r-s + \sqrt {(2r-s)^2 + 3s^2}}{3} \geq 0 $$ $$\Leftrightarrow (2r-s)^2 + 3s^2 \geq (r+s)^2 $$ $$\Leftrightarrow 4r^2 +s^2 - 4rs + 3s^2 \geq r^2 + s^2 + 2rs$$ $$\Leftrightarrow 3r^2 + 3s^2 - 6rs = 3(r-s)^2 \geq 0$$ olduğu için $q$ sayısı da bulunabilir.

[Lokman Gökçe]

Bu geometrik problem, sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoreminin çok güzel bir uygulamasıdır.

Üçgen prizmanın taban ayrıt uzunluklarının $a\geq b\geq c$ olduğunu kabul edebiliriz. Üçgen prizmayı düzlemle kestikten sonra aşağıdaki gibi yüzey açınımını yapalım.

Arakesitin bir $ABC$ eşkenar üçgeni olmasını istiyoruz. Bunun için $|AB|=|BC|=|CA|=x$ olacak şekilde bir $x$ gerçel sayısının var olduğunu göstermeliyiz. Şekilde $|BH|=\sqrt{x^2-a^2}=|KL|$, $|CK|=\sqrt{x^2-b^2}$, $|CL|=\sqrt{x^2-c^2}$ dir. $|CL|=|CK|+|KL|$ eşitliğinden

$$ \sqrt{x^2-a^2} +\sqrt{x^2-b^2} -\sqrt{x^2-c^2} = 0 \dots (1) $$

denklemi elde edilir. Bu denklemin bir $x$ gerçel sayısı çözümü olduğunu ispat edeceğiz.

$$ f(x) = \sqrt{x^2-a^2} +\sqrt{x^2-b^2} -\sqrt{x^2-c^2}\dots (2) $$

diyelim. Açıkça $f(a) \leq 0$ dır. Eğer $f(a)=0$ ise zaten göstermek istediğimiz buydu, ispat tamamlanmış olur. Bu yüzden $f(a) < 0$ olması halini göz önüne alarak işlemlerimizi yapalım. Temel limit bilgilerimizle

$$\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty $$

olduğunu görebiliriz. Bu limit bize yeterince büyük bir pozitif $x_0$ gerçel sayısı için $f(x_0)>0$ olduğunu söyler. $f$ fonksiyonu $[c, \infty)$ aralığında sürekli bir fonksiyondur ve $f(a)\cdot f(x_0) <0$ olduğundan ara değer teoremi gereğince $(1)$ denkleminin $(a,x_0)$ aralığında bir $x$ çözümü vardır.