Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin kenarları üzerinde $P\in\lbrack AB\rbrack , Q\in \lbrack BC\rbrack ,R\in[CA]$ ve $$\dfrac{|AP|}{|AB|}=\dfrac{|BQ|}{|BC|}=\dfrac{|CR|}{|CA|}=k \qquad (k<\dfrac{1}{2})$$ olacak biçimde $P,Q,R$ noktaları alınıyor. $G$, $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olduğuna göre $$\dfrac{Alan(PQG)}{Alan(PQR)}$$ değerini bulunuz.

[geo]

$A\left(x_1,y_1\right),\ B\left(x_2,y_2\right),\ C(x_3,y_3)$ şeklinde tanımlansın. $G\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ olacaktır.

$P\left(\dfrac{x_2-x_1}{k}+x_1,\dfrac{y_2-y_1}{k}+y_1\right)$, $Q\left(\dfrac{x_3-x_2}{k}+x_2,\dfrac{y_3-y_2}{k}+y_2\right)$ ve $R\left(\dfrac{x_1-x_3}{k}+x_3,\dfrac{y_1-y_3}{k}+y_3\right)$ olur.

$PQR$ üçgeninin ağırlık merkezi $G'\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ olacağı için $G=G'$ olur. Bu durumda $\dfrac{Alan\left(PQG\right)}{Alan\left(PQR\right)}=\dfrac{1}{3}$ olacaktır.