Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$O$ merkezli $[AB]$ çaplı yarım çemberin bu çapı üzerinde $O$ ile $B$ arasındaki bir $E$ noktasından $[AB]$ çapına çıkılan dikme, çemberi $D$ noktasında kesiyor. $[DE]$ ve $[EB]$ doğru parçalarına sıra ile $K$ ve $C$ noktalarında teğet olan bir çember $BD$ yayına da $F$ noktasında içten teğettir. Buna göre $\widehat{EDC}=\widehat{BDC}$ olduğunu ispatlayınız.

[geo]

$KI\parallel OA$, $\dfrac{KI}{OA}=\dfrac{IF}{OF}$ olduğu için $A,K,F$ doğrusaldır. $\angle ADE=\angle ABD=\angle AFD$ olduğu için $AD^2=AK\cdot AF$.

$A$ noktasının $I$ merkezli çembere göre kuvvetinden  $AC^2=AK\cdot AF$ olduğu için $AD=AC$ elde edilir.
Bu durumda $\angle ADC=\angle ACD\Rightarrow \angle ADE+\angle EDC=\angle CDB+\angle DBC\Rightarrow \angle EDC=\angle BDC$ olur.

[geo]

$OA=R$ ve $IC=r=1$ olsun. Açıortay teoreminden $\dfrac{DE}{EC}=\dfrac{DB}{BC}$ elde edileceği için $$\dfrac{DE^2}{BD^2}=\dfrac{EC^2}{BC^2}=\dfrac{1}{BC^2}$$ olduğunu göstermemiz gerekecek.
$$BD^2=DE^2\cdot BC^2\Rightarrow BE^2=BD^2-DE^2=DE^2\left(BC^2-1\right)=DE^2\left(BC-1\right)\left(1+BC\right)$$ $$=DE^2\left(BC-1\right)BE\Rightarrow BE=1+BC=DE^2(BC-1)$$ olduğunu göstereceğiz.
$$OI=R-r=R-1, OC=\sqrt{R^2-2R}\Rightarrow BC=R-\sqrt{R^2-2R}$$ $$DE^2=OD^2-OE^2=R^2-{\left(\sqrt{R^2-2R}-1\right)}^2=2\sqrt{R^2-2R}+2R-1. $$ $$DE^2\cdot \left(BC-1\right)=\left(2\sqrt{R^2-2R}+2R-1\right)\left(R-\sqrt{R^2-2R}-1\right)$$ $$=2R\sqrt{R^2-2R}-2\left(R^2-2R\right)-2\sqrt{R^2-2R}+2R^2-2R\sqrt{R^2-2R}-2R-R+\sqrt{R^2-2R}+1$$ $$=R-\sqrt{R^2-2R}+1=BC$$ olur.