Cevap: $\boxed{C}$
Genelliği bozmadan $x\geq y\geq z$ olsun. O halde $x^2y=\dfrac{x^2yz}{z}=\dfrac{510510x}{z}$ olacaktır. Diğer terimler için de aynısını yazarsak $$\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}=\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}$$ olacaktır. $\dfrac{x}{z}=a\geq 1$, $\dfrac{y}{x}=b\leq 1$ ve $\dfrac{z}{y}=c\leq 1$ dersek $abc=1$ ve $$m=a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{ab+ac+bc}{abc}=ab+ac+bc$$ olacaktır. Eğer $$P(t)=(t-a)(t-b)(t-c)=t^3-(a+b+c)t^2+(ab+ac+bc)t-abc=t^3-mt^2+mt-1$$ polinomu tanımlarsak $a,b,c$ rasyonel sayıları bu polinomun kökü olacaktır. $P(1)=0$ olduğundan $t=1$ bu polinomun bir köküdür. Dolayısıyla $a,b,c$'den birisi $1$ olmalıdır. Bu da $x,y,z$'den en az ikisinin eşit olduğu anlamına gelir. $$510510=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17$$ olduğundan $510510$'un tek tamkare böleni $1$'dir. Bu da eşit olan sayıların $1$'e eşit olduğu anlamına gelir. $1$'den daha küçük pozitif tamsayı olmadığından $(x,y,z)=(510510,1,1)$ olmalıdır. Bunun verilen ikinci eşitliği de sağladığı kolaylıkla görülebilir. Dolayısıyla permütasyonları ile birlikte $3$ adet çözüm üçlüsü vardır.
