Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 22

[geo]

$k$ sayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için $x^2 - y^2 = k$ eşitliğini sağlayan $(x, y)$ tam sayı ikilisi yoktur?

$
\textbf{a)}\ 2005
\qquad\textbf{b)}\ 2006
\qquad\textbf{c)}\ 2007
\qquad\textbf{d)}\ 2008
\qquad\textbf{e)}\ 2009
$

[t-temiz]

Yanıt: $\boxed{B}$

$x^2-y^2=(x-y)\cdot(x+y)=k$ Yani çarpanları toplamı çift olmalı. ($x-y+x+y=2x$) dir. $2005=2005\cdot 1$ ve $2005+1=2006$ dir. Benzer şekilde seçeneklerdeki tek sayılar $k$ olabilir. $2008=1004\cdot 2$ ve $1004+2=1006$ olduğundan $k=2008$ çift sayısı için de çözüm vardır. Geriye kalan tek seçenek $B$ dir.

[halils00]

Yanıt: $\boxed{B}$

Modülo  $4$ te inceleme yapılırsa her $x$ tamsayısı için $x \equiv 0, 1,2,3 \pmod{4}$ olup $x^2 \equiv 0, 1 \pmod{4}$ tür. $x^2-y^2 \equiv 0,1,3 \pmod{4}$ elde edilir. Asla $x^2-y^2 \equiv 2 \pmod{4}$  olamaz.