Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 14

[geo]

$10^3 < n < 10^6$ koşulunu sağlayan bir $n$ tam sayısına, son üç basamağındaki rakamların toplamı, daha önceki basamaklarındakı rakamların toplamına eşitse, dengeli sayı diyoruz. Tüm dengeli sayıların toplamı $13$ moduna göre aşağıdakilerden hangisine denktir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ 12
$

[Dogukan6336]

$$x_{i}y_{i}z_{i}a_{i}b_{i}c_{i}$$ şeklindeki sayılar dengeli sayımız olsun. Bunlardan $n$ tane olsun yani $i = 1,2,\dots,n^2$ olsun.
$$x_{i} + y_{i} + z_{i} +  = S$$ $$a_{i} + b_{i}+ c_{i} +  = S$$

$$a_{1}b_{1}c_{1} + a_{2}b_{2}c_{2} + a_{3}b_{3}c_{3} +....+ a_{n^2}b_{n^2}c_{n^2} = p$$ $$x_{1}y_{1}z_{1}+ x_{2}y_{2}z_{2} + x_{3}y_{3}z_{3} +....+x_{n^2}y_{n^2}z_{n^2} = p$$
Buradan $n^2$ tane $x_{i}y_{i}z_{i}a_{i}b_{i}c_{i}$ sayısı oluşur.

$x_{1}y_{1}z_{1}a_{1}b_{1}c_{1} + x_{2}y_{2}z_{2}a_{2}b_{2}c_{2} +\dots+ x_{n^2}y_{n^2}z_{n^2}a_{n^2}b_{n^2}c_{n^2}$ toplamının $13$ ile bölümünden kalanı arıyoruz.

Sayıları çözümlersek:
$100000x_{1} + 10000y_{1}+ 1000z_{1} + 100a_{1}+ 10b_{1} + c_{1} +\dots = 1000p + p = 1001p = 13\cdot 77 \cdot p$ olup $13$ modunda $0$ a denktir.

[Eray]

$x_{1} + y_{1} + z_{1} + x_{2} + y_{2} + z_{2} + x_{3} +y_{3} + z_{3} + .....+x_{n} + y_{n} + z_{n} = S$

$a_{1} + b_{1}+ c_{1} + a_{2}+ b_{2} + c_{2} + a_{3}+ b_{3}+ c_{3} + .....+a_{n} + b_{n} + c_{n} = S$

$x_{1}y_{1}z_{1}a_{1}b_{1}c_{1} + x_{2}y_{2}z_{2}a_{2}b_{2}c_{2} +.....+ x_{n}y_{n}z_{n}a_{n}b_{n}c_{n}$

Toplamının $13$ ile bölümünden kalanı arıyoruz. Sayıları çözümlersek
$100000x_{1} + 10000y_{1}+ 1000z_{1} + 100a_{1}+ 10b_{1} + c_{1} +...... = 100000S + 100S = 100100S = 13.7700S$ olup $13$ modunda $0$ a denktir.

Son toplam $100000\sum x_i + 10000\sum y_i + 1000\sum z_i + 100\sum a_i + 10\sum b_i + \sum c_i$ ye eşittir

Bu toplam $100000S + 100S$ e eşittir demişsiniz fakat öyle olması için $y_i$ ve $z_i$ lerin katsayılarının $100000$, $b_i$ ve $c_i$ lerin katsayılarının $100$ olması gerekmez miydi?

[Dogukan6336]

$x_{1} + y_{1} + z_{1} + x_{2} + y_{2} + z_{2} + x_{3} +y_{3} + z_{3} + .....+x_{n} + y_{n} + z_{n} = S$

$a_{1} + b_{1}+ c_{1} + a_{2}+ b_{2} + c_{2} + a_{3}+ b_{3}+ c_{3} + .....+a_{n} + b_{n} + c_{n} = S$

$x_{1}y_{1}z_{1}a_{1}b_{1}c_{1} + x_{2}y_{2}z_{2}a_{2}b_{2}c_{2} +.....+ x_{n}y_{n}z_{n}a_{n}b_{n}c_{n}$

Toplamının $13$ ile bölümünden kalanı arıyoruz. Sayıları çözümlersek
$100000x_{1} + 10000y_{1}+ 1000z_{1} + 100a_{1}+ 10b_{1} + c_{1} +...... = 100000S + 100S = 100100S = 13.7700S$ olup $13$ modunda $0$ a denktir.

Son toplam $100000\sum x_i + 10000\sum y_i + 1000\sum z_i + 100\sum a_i + 10\sum b_i + \sum c_i$ ye eşittir

Bu toplam $100000S + 100S$ e eşittir demişsiniz fakat öyle olması için $y_i$ ve $z_i$ lerin katsayılarının $100000$, $b_i$ ve $c_i$ lerin katsayılarının $100$ olması gerekmez miydi?

Düzeltildi hocam.

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

$x,y,z,a,b,c \in \{0,1, \dots, 9\}$ ve $k=1,2,\dots, 27$ olmak üzere; dengeli sayılar $x+y+z = a + b + c = k$ eşitliğini sağlar.
$a+b+c = k$ olacak şekilde yazılabilecek üç basamaklı $abc$ sayılarının sayısı $n_k$, toplamı $p_k$ olsun.
$xyz000$ sayılarının sayısı da $n_k$, toplamı $1000\cdot p_k$ olacaktır.
Bu durumda her $k$ için dengeli sayıların toplamı $S_k = 1001 \cdot p_k = 13 \cdot 77 \cdot p_k$ olacaktır.
Tüm dengeli sayıların toplamı $S = \displaystyle \sum_{k=1}^{27}S_k = 1001\displaystyle \sum_{k=1}^{27}p_k$, $13$ ile tam bölünecektir.