Çözüm 2:
Her $k, \ell $ pozitif tam sayısı için
$36^k \equiv 6^k \equiv 6 \pmod{10}$ ve $5^{\ell} \equiv 5 \pmod{10}$ olduğundan $ 36^k - 5^{\ell} \equiv 1 \pmod{10}$ olur. Böylece $36^k - 5^{\ell}$ ifadesinin $10n +1$ formunda bir pozitif tam sayı olabileceğini anlarız.
En küçük değer için $n=0$ denenirse $ 36^k - 5^{\ell}=1$ için çözüm aramalıyız. $ 36^k - 1 = 5^{\ell}$ olup iki kare farkından $ (6^k +1)(6^k-1)=5^{\ell}$ olur.
$6^k +1=5^a$, $6^k -1=5^b$, $a+b=\ell$, $a>b$ olacak biçimde $a, b \in \mathbb N $ olmalıdır. Fakat buradan $5^a - 5^b =2$ çelişkisi bulunur.
O halde en küçük değer için $n=1$ verelim. $ 36^k - 5^{\ell}=11$ denklemini sağlayan $k=1$, $\ell = 2$ değeri vardır.
Ek Soru: $ 36^k - 5^{\ell}=11$ denkleminin $k=1$, $\ell = 2$ değerlerinden başka pozitif tam sayılarda çözümü var mıdır?
Çözüm: $ 36^k - 5^{\ell}=11$ denkleminini $\mod 6$ da incelersek $(-1)^{\ell} \equiv 1 \pmod{6}$ olup buradan $\ell = 2m$ biçiminde pozitif çift tam sayı olmalıdır. Böylece $ 36^k - 5^{2m}=11$ olup iki kare farkı özdeşliğinden $ (6^k +5^m)(6^k-5^m)=11$ yazılır. Yalnızca
$$ \begin{array}{lcl} 6^k +5^m&=&11 \\ 6^k - 5^m &=&1 \\ \end{array} $$
durumu mümkün olup denklemler alt alta toplanırsa $2\cdot 6^k =12$ bulunur. Buradan tek çözüm $k=1$, $\ell = 2$ elde edilir.
