Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

$a,b,c,d$ gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-d+\dfrac{2}{5}=0$ eşitliğini sağlıyorsa $a$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{2}}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{5}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Birinci Yol: Verilen ifadeyi tamkarelerin toplamı olarak yazmaya çalışalım. $$a^2-ab+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{3b^2}{4}+c^2+d^2-bc-cd-d+\dfrac{2}{5}=\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}-bc+\dfrac{c^2}{3}+\dfrac{2c^2}{3}+d^2-cd-d+\dfrac{2}{5}$$ $$=\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}b-\dfrac{1}{\sqrt{3}}c\right)^2+\dfrac{2c^2}{3}-cd+\dfrac{3}{8}d^2+\dfrac{5}{8}d^2-d+\dfrac{2}{5}$$ $$=\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}b-\dfrac{1}{\sqrt{3}}c\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}c-\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}d\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}d-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\right)^2$$ olacaktır. Dolayısıyla bu ifade $0$ ise $$a-\dfrac{b}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}b-\dfrac{1}{\sqrt{3}}c=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}c-\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}d=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}d-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=0$$ Bu eşitliklerden $a=\dfrac{1}{5}$, $b=\dfrac{2}{5}$, $c=\dfrac{3}{5}$ ve $d=\dfrac{4}{5}$ olacaktır.

İkinci Yol: Verilen denklemi $a$'ya bağlı ikinci dereceden bir denklem olarak düşünelim. Bu denklemin diskriminantı $$\Delta_1=b^2-4\left(b^2+c^2+d^2-bc-cd-d+\dfrac{2}{5}\right)=-3b^2-4c^2-4d^2+4bc+4cd+4d-\dfrac{8}{5}$$ Bu diskriminant negatif olmamalıdır. Bu diskriminantı da $b$'e bağlı ikinci dereceden denklem olarak düşünürsek, başkatsayısı negatif olduğundan $b$ değeri bu denklemin iki kökünün arasında değer almalıdır. Yani bu denklemin de kökü olmalıdır. Bu da diskriminantının negatif olmaması demektir. $$\Delta_2=16c^2+12\left(-4c^2-4d^2+4cd+4d-\dfrac{8}{5}\right)=-32c^2-48d^2+48cd+48d-\dfrac{96}{5}$$ Benzer şekilde bu denklemi de $c$'ye bağlı ikinci dereceden denklem olarak düşünürsek diskriminantı negatif olmamalıdır. $16$'ya bölüp diskriminantını alalım. $$\Delta_3=9d^2+8\left(-3d^2+3d-\dfrac{6}{5}\right)=-15d^2+24d-\dfrac{48}{5}=-15\left(d-\dfrac{4}{5}\right)^2$$ Bu diskriminantın negatif olmaması için $d=\dfrac{4}{5}$ olmalıdır. Bunu önce $\Delta_2$'de sonra da $\Delta_1$'de yazarsak $b=\dfrac{2}{5}$ ve $c=\dfrac{3}{5}$ olacaktır. Bu değerleri ana denklemde yazınca da $a=\dfrac{1}{5}$ olacaktır.

Birinci yol daha kolay olsa da iki yol da çözüm olarak incelenmeli.

[geo]

$f(a,b,c,d)=\frac{\left(a-\frac{1}{5}\right)^2+\left(b-a-\frac{1}{5}\right)^2+\left(c-b-\frac{1}{5}\right)^2+\left(d-c-\frac{1}{5}\right)^2+\left(d-\frac{4}{5}\right)^2}{2}=0$

$a=\dfrac 15$, $b=\dfrac 25$, $c=\dfrac 25$, $d=\dfrac 45$.


Kaynak: AoPS

[Lokman Gökçe]

Bu tür soruların çözümünde kolaylık sağladığını düşündüğüm ve kullandığım yöntem şöyledir:

Dördüncü Yol: $S=a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-d+\dfrac{2}{5}$ ifadesine bakalım. Buradaki $a,b,c,d$ bilinmeyenleri arasında en az sayıda terimde bulunan var mı diye bakalım.

$a$ için bakarsak: $a^2, -ab$ terimlerinin sayısı $2$ dir.
$b$ için bakarsak: $b^2, -ab, -bc$ terimlerinin sayısı $3$ tür. Diğer bilinmeyenler için de bu sayı $3$ tür.

O halde $a$ bilinmeyeni ile tam kareye tamamlama işlemine başlıyorum. (Hepsinden eşit sayıda, örneğin $3$'er tane olursa hangi bilinmeyenden başladığınız çözüm yolunun kolaylık/zorluk durumuna etki etmez. O durumda katsayılar arasında çözümü kolaylaştırıcı başka özellikler yakalamayı denerim.) $a^2 -ab$ var elimizde. $\dfrac{b^2}{4}$ ekleyip çıkaracağız. $S= \left(a - \dfrac{b}{2}\right)^2 + \dfrac{3b^2}{4} + \cdots $ olur.

Bizi işlem hatalarından koruyabilecek bir başka kullanışlı püf noktamız da şudur: $\dfrac{3b^2}{4} - bc$ ifadesini tam kareye tamamlarken önce $\dfrac{3}{4}\left( b^2 - \dfrac{4}{3}bc \right)$ yazalım ve şimdi parantezin içine $\dfrac{4c^2}{9}$ ekleyip çıkaralım. Yani  $\dfrac{3}{4}\left( b^2 - \dfrac{4}{3}bc + \dfrac{4c^2}{9}- \dfrac{4c^2}{9}\right) = \dfrac{3}{4}\left( b - \dfrac{2c}{3} \right)^2 - \dfrac{1}{3}c^2$ olur.  Köklü ifadelerden kaçınmış olduk. $S = \left(a - \dfrac{b}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}\left( b - \dfrac{2c}{3} \right)^2 + \dfrac{2}{3}c^2 -cd + d^2 -d +\dfrac{2}{5}$ olur.

Bizi köklü ifade yazma sıkıntısından kurtaran bu püf noktasını tekrar uygulayalım: $\dfrac{2}{3}c^2 -cd = \dfrac{2}{3}\left(c^2 - \dfrac{3}{2}cd \right) = \dfrac{2}{3}\left(c^2 - \dfrac{3}{2}cd + \dfrac{9}{16}d^2 \right) - \dfrac{3}{8}d^2$ dir. $S = \left(a - \dfrac{b}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}\left( b - \dfrac{2c}{3} \right)^2 +  \dfrac{2}{3}\left(c - \dfrac{3d}{4}\right)^2  + \dfrac{5}{8}d^2 - d + \dfrac{2}{5}$ olur.

Son olarak $\dfrac{5}{8}d^2 - d + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{8}\left( d^2  - \dfrac{8}{5}d + \dfrac{16}{25}\right) =  \dfrac{5}{8}\left(d - \dfrac{4}{5}\right)^2  $ biçiminde tam kareye tamamlarsak,

$$ S =  \left(a - \dfrac{b}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}\left( b - \dfrac{2c}{3} \right)^2 +  \dfrac{2}{3}\left(c - \dfrac{3d}{4}\right)^2 +  \dfrac{5}{8}\left(d - \dfrac{4}{5}\right)^2 $$

elde edilir. $S=0$ olması için gerek ve yeter şart tam kare ifadelerin $0$ a eşit olmasıdır. $d=\dfrac{4}{5}$ olur. Bunu kullanarak $c = \dfrac{3}{5}$, $b = \dfrac{2}{5}$, $a=\dfrac{1}{5}$ değerlerine ulaşılır.



Not: Bu türdeki çok bilinmeyenli bir denklemde, bilinmeyenlerden birini çözmemiz isteniyorsa tam kareler toplamı $0$ a eşitlenmiş bir ifade aramamız gerektiğini hissedebiliriz. Örneğin $x^2 + 2y^2 + 5z^2 = 1$ türündeki bir denklem uzayda elipsoid yüzeyi belirttiği için yüzey üzerinde sonsuz çoklukta nokta vardır. "$x$ kaçtır?" şeklinde bir soru sormak mantıklı değildir. Fakat  $x^2 + 2y^2 + 5z^2 = 0$ türündeki bir denklem uzayda nokta belirtir ve $(x,y,z) = (0,0,0)$ tek çözümdür. "$x$ kaçtır?" gibi bir soru sormak artık mantıklıdır.