taban aritmetiği

[bunyamin]

10! sayısı 2 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı olur? pratik bir çözüm varmı?

[Lokman Gökçe]

$10! = 3628800$ dır. $2^n < 10! <2^{n+1}$  olacak biçimde $n$ pozitif tamsayısı belirlenirse, cevabımız $n+1$ olur. Biraz kaba hesap ile $2^{21} = 2097152$ olduğu bulunduktan sonra, $2^{21}< 3628800 <2^{22}$ yazarız. Buradan $10!$ sayısının $2$ lik tabanda $22$ basamaklı bir sayı olduğunu anlarız.

Ayrıca $\log_2{10!}$ sayısının tam kısmının $1$ fazlası da cevabımızı verir. Hesap makinesi ile $\log_2{10!} = 21,791$ olup $10!$ sayısının $2$ lik tabanda $21+1=22$ basamaklı bir sayıdır.

[cunomat]

$10!=2^8.3^4.5^2.7$

$3^4=2^6+2^4+1$

$5^2=2^4+2^3+1$

$7=2^2+2+1$

$10!=2^8.3^4.5^2.7= 2^8.(2^6+2^4+1).(2^4+2^3+1).(2^2+2+1)$

Bu çarpım düzenlenirse

$10!= 2^{21}+2^{20}+2^{18}+...$

olduğu görülür. O halde sayı 22 basamaklıdır...