Dikdörtgen m(ECD) açı hesabı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru (Selahattin SAMUR): Şekilde $ABCD$ bir dikdörtgen, $|AF|=|FG|$, $|EF|=|FD|$ ve $EA \perp BD$ olduğuna göre $m(\widehat{ECD})$ kaç derecedir?

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): $ELD$ dik üçgenini ve $[LF]$ kenarortayını çizelim. $|DC|=2a$,$|AG|=2b$, $|DC|=2c$ diyelim. $FH \perp AD$ çizelim. $|AH|=|HG|=b$ olur. $FH$ ile $EC$ nin kesişimi $K$ olsun. $|KH|=d$ diyelim.

$|DC|=2|FK|$ olduğundan $|FK|=a$ dır. $|EL|=2|FH|$ olduğundan $|EL|=2a+2d$ olur. $|LH|=|HD|=b+2c$ olduğundan $|LA|=2c$ dir.

$GHK \sim GDC$ açı-açı-açı benzerliğinden $\dfrac{d}{b}=\dfrac{a}{c}$ olup $ab=cd \tag{1}$ elde edilir.

$ELA \sim DAB$ açı-açı-açı benzerliğinden $\dfrac{2a+2d}{2c}=\dfrac{2+2c}{2a}$ olup $a^2+ad=c^2+bc \tag{2}$ elde edilir. $(1)$ ve $(2)$ eşitliklerinden

$a^2-c^2=bc-ad \implies a^2-c^2 = bc - \dfrac{a^2b}{c}$
                           $\implies a^2-c^2 = \dfrac{b(c^2-a^2)}{c}$
                           $\implies (a^2-c^2)(b+c) = 0$
                           $\implies a=c$
                           $\implies m(\widehat{ECD})=45^\circ$ bulunur. $\blacksquare $