$ ABM \sim NAM $ (A-A-A) benzerliğinden $$\frac{|AB|}{|AN|}=\frac{|AM|}{|MN|}=\frac{|BM|}{|AM|}$$
ve $|AM|=|MD|$ olduğundan son iki eşitlik $$\frac{|MD|}{|MN|}=\frac{|BM|}{|MD|}$$olmasından ötürü $MDN \sim MBD $ olup $m(\widehat{MDN})=m(\widehat{MBD})$ ve benzerlik tamamen yazılırsa $$\frac{|MD|}{|MN|}=\frac{|BM|}{|MD|}=\frac{|DN|}{|BD|}$$
$ABM\sim NAM$ ve $MDN\sim MBD$ birlikte düşünülürse; $$\frac{|AB|}{|BD|}=\frac{|AN|}{|ND|}$$ yazılabilir. Artık açılarımızı adlandıralım. $m(\widehat{BAN})=2\alpha $, $m(\widehat{NAC})=2\beta$, ise $m(\widehat{ANM})=\alpha+\beta$, $m(\widehat{ABN})=m(\widehat{MAN})=\beta-\alpha$, $m(\widehat{DBN})=m(\widehat{MDN})=\theta$ dır.
Diğer taraftan iç açıortay teoreminden faydalanırsak $$\frac{|AB|}{|BD|}=\frac{|AC|}{|CD|}$$ yazılabilir. Son iki oranı bir arada düşünürsek, $$\frac{|AN|}{|ND|}=\frac{|AC|}{|CD|}$$ Bu oran bize $ANCD$ dörtgeninin $A$ ve $D$ açılarının iç açıortaylarının $P$ gibi bir sabit noktada kesişeceğini gösterir. Öyleyse $[AP]$ ve $[DP]$ açıortaydır. $m(\widehat{NDC})=2\beta+2\theta$ olduğundan $m(\widehat{DAP})=\beta$, öte yandan $m(\widehat{NAC})=2\beta$ olduğundan $m(\widehat{DAP})=\alpha$ olmalıdır. $DAP$ üçgeninde $[DP]\parallel[MP']$ olacak şekilde $[AP]$ üzerinde bir $P'$ noktası alırsak orta tabandan $|AP'|=|P'P|$ $$m(\widehat{ANM})+m(\widehat{AP'M})=180^{\circ}$$
olduğundan $ANMP'$ dörtgeni çemberseldir. $N$ ile $P'$ birleştirildiğinde aynı yayı gören çevre açılar eşit olacağından $m(\widehat{MNP'})=m(\widehat{DAP})=\alpha$ olduğundan
$ |P'N|=|P'A|=|P'P|$ $\Longrightarrow$ $[AN] \bot [NC]$
dir. $\blacksquare$
$\clubsuit$ Lokman GÖKÇE ağabeyime ithafen $\clubsuit$