EŞİTSİZLİK

[ruinfraude]

$ n\ge 1\\ \frac { \sigma (n) }{ \tau (n) } \ge \alpha \sqrt { n } \\ \\  $ eşitsizliğini sağlayan en büyük $\alpha $ reel sayısını bulunuz.

[ArtOfMathSolving]

Bu soruyu Sayılar Teorisi Alt bölümünde Boğaziçinden sorular Başlığıyla paylaşmıştım. Eşitsizlik maksimum değerini ,$\sqrt{n}.n^{\frac{\tau(n)-1}{2}}$ değerinde alacağını düşünüyorum.
Soruyu Aops'ta paylaştım , yanıt gelirse buraya yazacağım.

[ruinfraude]

Sorunun paylaşıldığını bilmiyordum.Soruyu bana yönelten kişi kânımca başka bir kaynaktan buldu.

[ArtOfMathSolving]

$(1)$. $\frac{\sigma (pn)}{\tau(pn) \sqrt{pn}} > \frac{\sigma (n)}{\tau(n)\sqrt n}$ olduğunu gösterelim.($p$ asal)


$v_p(n)=\alpha$ Olmak üzere,

$$\begin{aligned} \frac{\sigma (pn)}{\tau(pn) \sqrt{pn}} & = \frac{\sigma \left( p^{\alpha+1} \right) \sigma \left( \frac{n}{p^{\alpha}} \right)}{ \tau \left( p^{\alpha+1} \right) \tau \left( \frac{n}{p^{\alpha}} \right)\sqrt{pn} }, \\
& = \frac{\left( p^{\alpha+2}-1 \right) \sigma \left( \frac{n}{p^{\alpha}} \right)}{(p-1)(\alpha+2) \tau \left( \frac{n}{p^{\alpha}} \right) \sqrt{pn}}. \end{aligned}$$ Olur.

Benzer şekilde,


$$\frac{\sigma(n)}{\tau(n)\sqrt n} = \frac{\left( p^{\alpha+1}-1 \right) \sigma \left( \frac{n}{p^{\alpha}} \right)}{(p-1)(\alpha+1) \tau \left( \frac{n}{p^{\alpha}} \right)\sqrt n}.$$

Buradan,

$$\begin{array}{c} \dfrac{p^{\alpha+2}-1}{(\alpha+2)\sqrt p} > \dfrac{p^{\alpha+1}-1 }{\alpha+1}, \\
p^{\alpha+1} \left( p\alpha+p-\alpha\sqrt p - 2\sqrt p \right)+ (\alpha+2)\sqrt p - \alpha -1>0, \end{array}$$

RBuradan $\alpha \ge 0 ,p\ge 2$ için $(1)$'i kanıtlamış oluyoruz.

$(2)$. $\dfrac{\sigma(p_1)}{\tau (p_1)\sqrt{p_1} }> \dfrac{\sigma(p_2)}{\tau(p_2)\sqrt{p_2}}$
 
Bu ifade de her $p_{1}>p_{2}$ koşulunu sağlayan asal sayılar için geçerlidir.Bunu kanıtlamak için;


$\dfrac{p_1+1}{\sqrt{p_1}}>\dfrac{p_2+1}{\sqrt{p_2}}$ 'ı kanıtlamamız yeterlidir ki,


$\left( \sqrt{p_1}-\sqrt{p_2} \right)\left( \sqrt{p_1p_2}-1 \right)>0$ ifademiz buna eşittir ve doğrudur.$(2)$ 'yi de kanıtlamış olduk.

$(1)$ ve $(2)$ den

$\dfrac{\sigma(2)}{\tau(2)\sqrt 2}= \dfrac{3\sqrt 2}{4}$

Elde ederiz ve ispat biter.$\square$