Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 13

[geo]

Bir üçgenin iç açılarının tanjantları tam sayılarsa, bu sayıların toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Dogukan6336]

Önerme:

Bir üçgenin iç açıları arasında $\tan (A) + \tan (B) + \tan (C) = \tan (A) \tan (B) \tan (C)$  bağıntısı vardır.

İspat:

$ A+B+C=180^\circ$  olup $ A+B=180^\circ-C$ olacaktır. Ve $\tan (A+B)=\tan (180^\circ-C)$  olur. Tanjantın toplam formülünü kullanacak olursak

$$ \dfrac {\tan A+\tan B } {1-\tan A\tan B} = -\tan C$$
$$\tan(A) + \tan(B) + \tan(C) = \tan(A)\tan(B)\tan(C)$$
O halde sorumuzu çözelim.  $a,b,c \in Z$ olmak üzere $\tan(A) = a$ , $\tan(B) = b$ ve $\tan(C)=c$ diyelim. Bu durumda
$$a+b+c = abc$$

denkleminin tamsayılarda çözümlerini arıyoruz. Denklem simetrik olduğundan  $ a \leq b \leq c$ kabülü yapalım. Bu durumda $a+b+c = abc \leq 3c$ olacaktır. Yani $ab \leq 3$ olacaktır. $a = 1$ $b=2$ $c=3$ veya $a = 2$ $b=1$ $c=3$ gibi çözümler, bu denklemin çözümleridir. O halde cevabımız $1+2+3 = 6$ dır.