Problem 1'in Çözümü:$|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c$ diyelim. $[BC]$ üzerinden bir $E$ noktasını $\angle EBA=\angle EAB$ olacak biçimde alalım. Bu halde $|CE|=|CA|=b$ ve $|AE|=|EB|=a-b$ olur.
Stewart teoremini uygularsak:
$|AE|^{2}=\dfrac{|AC|^{2}\cdot |BE|+|AB|^{2\cdot }|CE|}{|BC|}-|BE|\cdot |EC|$
$$(a-b)^{2}=\dfrac{b^{2}\cdot (a-b)+c^{2}\cdot b}{a}-(a-b)\cdot b$$
olup
$$ (a-b)^{2}(a+b)=c^{2}b \tag{1}$$
eşitliğini elde ederiz. Şimdi $\dfrac{a}{b}=k,$ ($k>1$ rasyonel sayı) diyelim. $(1)$ den,
$(k-1)^{2}(k+1)b^{2}=c^{2}$ buluruz. Böylelikle,
$ c=(k-1)\sqrt{k+1}b, \quad a=kb \tag{2}$
elde ederiz ve $k+1$ bir rasyonel sayının karesi olmalıdır. Bazı $m,n$ tam sayıları için $k+1=\left( \dfrac{m}{n}
\right) ^{2}>2$ yazılır. Diğer taraftan, üçgen eşitsizliğinden
$$a<b+c, \quad c<a+b $$
olur. $(2)$ eşitliğiyle beraber üçgen eşitsizliği bize
$$(k-1)\sqrt{k+1}<k+1$$
eşitsizliğini verir ve böylece
$ 1<k<3 \tag{3}$
elde edilir. $a,b,c$ nin en küçük değerleri için $m=3,n=2$ seçmeliyiz. Buradan,
$$ k=\dfrac{5}{4}, a=\dfrac{5}{4}b, c=\dfrac{3}{8}b $$
olur. Şimdi en küçük değer olarak $b=8$ alabiliriz ve $a=10,c=3$ buluruz. Böylece tam sayı kenarlı $ABC$ üçgeninin çevresi minimum $10+8+3=21$ olur.
