Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 30

[matematikolimpiyati]

$7^{2n+1}-4 \cdot 7^n+9$ ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[alpercay]

 Yanıt $\boxed A$

Çözümler kaybolmasın diye dosyaya ilaveten resmi çözümü latex ile de aktaralım  istedim.
$7^{2n+1}-4 \cdot 7^n+9=x^2$ olacak şekilde bir $x$ pozitif tam sayısı bulunsun. $$7^n(7^{n+1}-4)=(x-3)(x+3)$$ olduğundan $7^n|x-3$ veya $7^n|x+3$ olmalıdır. $x+3-(x-3)=6$ olduğundan çarpanlardan yalnız birisi $7$ nin katıdır.

(i) Varsayalım ki $7^n|x-3$ olsun. Bu durumda $x-3=7^nk$ olacak şekilde bir $k$ pozitif tam sayısı vardır.
Buna göre denklemi yeniden yazarsak $$7^n(7^{n+1}-4)=7^nk(7^nk+6)$$  $$7^n(7-k^2)=6k+4$$  olur. Burada $7^n$ daima pozitif olacağından $k$ pozitif tam sayısı $1$ ya da $2$ olur fakat her iki durumda da bir $n$ tam sayısı oluşmaz.

(ii) $7^n|x+3$ olsun. Bu durumda $x+3=7^nk$ olacak şekilde bir $k$ pozitif tam sayısı vardır. Buna göre denklemi yeniden yazarsak $$7^n(7^{n+1}-4)=7^nk(7^nk-6)$$   $$7^n(k^2-7)=6k-4$$ olur. $$7^n=\dfrac{6k-4}{k^2-7}=6/k+\dfrac{42/k -4}{k^2-7}$$ şeklinde yazarak $k$ değerinin yalnızca $3$ değerini alabildiği ve bu durumda $n=1$ olması gerektiği görülür.

[vedatde]

$n=1$ için
$7^3-4.7+9=324=18^2$ ve çözüm var.
Şimdi  $n≥2$  için çözüm olmadığını gösterelim. 
$m\geq1$ ve $n=m+1$ olsun.
$7^{2m+3}-4.7^{m+1}=x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right)$
$7^{m+1}\left(7^{m+2}-4\right)=\left(x-3\right)\left(x+3\right)$
Şimdi $x-3,7$'ye bölünüyorsa  $x-3=7n$ diyebiliriz.  Bu durumda $x=7n+3$ olur.
ve $x+3=7n+6$ olur. Buradan ya $x+3$ ,  $7$' ye bölünür ya da $x-3$ ,  $7$'ye bölünür.
Her ikisi birlikte 7' ye bölünmez.

Diyelim $x-3$,  $7$'ye bölünüyorsa
$x-3=k.7^{m+1}$ ise $x=k.7^{m+1}+3$
$7^{m+2}-4=k(x+3)$
$7^{m+2}-4=k\left({k7}^{m+1}+6\right)$ olur.
Mod 7 göre bu denklemi incelersek,
$0-4\equiv\ 0+6k$  Mod 7
$k\equiv4$ Mod 7
$k=4+7t$
$7^{m+2}-4=k(k7^{m+1}+6)$
$7^{m+2}-4=\left(4+7t\right)\left({(4+7t)7}^{m+1}+6\right)$
$7^{m+2}-4=(16+56t+{49t}^2)7^{m+1}+24+42t$ ve
$7^{m+2}=\left(16+56t+{49t}^2\right)7^{m+1}+28+42t$ olur. Her iki tarafı 7' ye bölersek
$7^{m+1}=(16+56t+{49t}^2)7^m+4+6t$ olur.
$\left(-9-56t-49t^2\right)7^m=4+6t$ ve
$7^m=-\frac{4+6t}{9+56t+49t^2}$ olur.
Her tamsayı $t$ için  $0<$$\lvert 7^m \rvert$$<2$ olur.
Çelişki. Halbuki $m≥1$ için    $7^m≥7$ dır.

Şimdi de diyelim $x+3$ ,   $7$' ye bölünüyorsa
$x+3= k7^{m+1}$  ise $x=k7^{m+1}-3$
$7^{m+2}-4=k(x-3)$
$7^{m+2}-4=k\left({k7}^{m+1}-6\right)$ olur.
Mod 7 göre bu denklemi incelersek
$0-4\equiv\ 0-6k$ Mod 7
$k\equiv3$ Mod 7 bulunur.
$k=3+7t$ olur.
$7^{m+2}-4=k(k7^{m+1}-6)$
$7^{m+2}-4=\left(3+7t\right)\left(\left(3+7t\right)7^{m+1}-6\right)$
$7^{m+2}-4=\left(9+42t+49t^2\right)7^{m+1}-18-42t$ ve
$7^{m+2}=\left(9+42t+49t^2\right)7^{m+1}-14-42t$ ve her iki tarafı 7'ye bölersek
$7^{m+1}=\left(9+42t+49t^2\right)7^m-2-6t$ olur.
$\left(-2-42t-49t^2\right)7^m=-2-6t$ ve
$7^m=\ \frac{2+6t}{\left(2+42t+49t^2\right)}$ olur. Her tamsayı $t$ için  $0<$$\lvert 7^m \rvert$$<2$ olur.
Çelişki. Halbuki $m≥1$ için  $7^m≥7$ dır .

Öyleyse $n≥2$ için çözüm yoktur.
Tek çözüm $n=1$ iken vardır.