Gönderen Konu: Dik üçgende içteğet çember  (Okunma sayısı 202 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Dik üçgende içteğet çember
« : Eylül 16, 2021, 05:44:16 ös »
$ABC$ dik üçgeninde $BC$ hipotenüsünün orta noktası $M$ olsun. $\triangle ABC$ nin içteğet çemberi $AB$ ve $AC$ kenarlarına $K$ ve $L$ noktalarında teğettir. $M$ den $KL$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $4(BH^2 + CH^2) = 3BC^2$ olduğunu gösteriniz.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Dik üçgende içteğet çember
« Yanıtla #1 : Eylül 24, 2021, 01:12:58 ös »
Öncelikle bu güzel soru için teşekkürler geo hocam. Olimpiyat dersi verdiğim öğrencilere uygun bir konu içinde problemi sunabilirim. Bu sebeple, soru size aitse ya da başka kaynağı varsa belirtebilirseniz sevinirim.


Çözüm (L. Gökçe): $BHC$ üçgeninde kenarortay uzunluk teoremini yazarsak $BH^2 + CH^2 - \dfrac{BC^2}{2}=2MH^2 $ olur. O halde $4(BH^2 + CH^2) = 3BC^2 \iff BC=2\sqrt{2}MH$ olur. $BC=2\sqrt{2}MH$ olduğunu gösterirsek problem çözülmüş olur.


$ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a,b,c$, yarıçevresi $s$ ve iç teğet çemberin yarıçapı $r$ olsun. $M$ den $AB$, $AC$ kenarlarına inen dikme ayakları $E$, $F$ olsun. $AK=AL=r = s-a$, $KL=r\sqrt{2}$,$ME=\dfrac{b}{2}$, $MF=\dfrac{c}{2}$ olur. $MH$ uzunluğunu hesaplamak için $AKL$ üçgeninin alanından faydalanalım.

$$A(AKL)=\dfrac{r^2}{2}=A(KMA) + A(LMA) - A(KML) = \dfrac{rb}{4} + \dfrac{rc}{4} - \dfrac{r\sqrt{2}MH}{2} $$

eşitliğini $4$ ile çarpıp $r$ ile bölersek $2\sqrt{2}MH = 2r - (b+c) = 2(s-a) - (b+c) = a = BC$ elde edilir.
« Son Düzenleme: Eylül 24, 2021, 01:14:34 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: Dik üçgende içteğet çember
« Yanıtla #2 : Eylül 25, 2021, 10:32:19 öö »
Soruyu youtube'da  görmüştüm. Kaynağına yeni baktım. Ukrayna 2019 görünüyor. https://artofproblemsolving.com/community/c6h2107583p15269101
Benim sorduğum dik üçgendeki özel hali olduğu için, daha az işlemli çözümler de gelebilir. Örneğin, analitik geometri ile doğru denklemleri yazılırsa da çözüm elde edilebiliyor.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal