Kenarı $n$ parçaya bölünmüş üçgen

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarını $n\geq 3$ eşit parçaya bölelim. Bu parçalar $[BD_1], [D_1D_2],\dots ,[D_{n-1}C]$ olsun ($D_1\in [BD_2]$, $D_{n-1}\in [D_{n-2}C]$ ve $i=2,3,\dots, n-2$ için $D_i\in [D_{i-1}D_{i+1}]$ olacak şekilde isimlendirilsin). $|AB|=x_0$, $|AC|=x_n$ ve $i=1,2,\dots ,n-1$ için $|AD_i|=x_i$ olsun. Buna göre $$\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\dbinom{n}{i}x_i^2=0$$ olduğunu gösteriniz. (Metin Can Aydemir)

Not: $n=3$ için bu eşitliği uzun zaman önce, şu anda adını hatırlayamadığım bir instagram sayfasında görmüştüm (Tekrar denk gelirsem eklerim). Ben de teoremi genelleştirdim. Eğer bu teorem bilinen bir teorem ise söylerseniz sevinirim.

[baris09]

Lemma:
\[
\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k} = 0
\]
Sorunun Çözümü:$BC$ kenarının bölünmesiyle oluşan her bir parçanın uzunluğuna $x$ diyelim. O halde $|BC|=nx$ ve $|BD_i|=ix$ olur. Ayrıca $|D_iC|=|BC|-|BD_i|=(n-i)x$'tir.
Stewart teoreminden:
\[
x_i^2=\frac {|AB|^2.|D_iC|+|BC|^2.|BD_i|}{|BD_i|+|D_iC|}-|BD_i|.|D_iC|
\]
\[
x_i^2=\frac{x_0^2.(n-i)x+x_n^2.ix}{nx}-x^2i(n-i)
\]
olacaktır. Bunu toplamda yerine yazarsak:
\[
\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}\left(\frac{x_0^2.(n-i)x+x_n^2.ix}{nx}-x^2i(n-i)\right)
\]
\[
=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}\left(\frac{x_0^2.(n-i)+x_n^2.i}{n}-x^2i(n-i)\right)
\]
\[
=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}\left(\frac{x_0^2n-x_0^2i+x_n^2.i}{n}-x^2i(n-i)\right)
\]
\[
=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}\left(\frac{x_0^2n-i(x_n^2-x_0^2)}{n}-x^2i(n-i)\right)
\]
\[
=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}\left(x_0^2-\frac{i(x_n^2-x_0^2)}{n}-x^2i(n-i)\right)
\]
Toplamı dağıtalım,
\[
=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}x_0^2-\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}\frac{i}{n}(x_n^2-x_0^2)-\sum_{i=0}^{n} (-1)^i\binom{n}{i}x^2i(n-i)
\]
2. toplamda $i=0$ için sonuç $0$ olacağından alt indisi $0$ yerine $1$'den başlatabiliriz. Benzer şekilde 3.terimde de $i=0$ için sonuç $0$ olacağından alt indisi $0$ yerine $1$'den başlatabilir ve $i=n$  için de sonuç $0$ olacağından üst indisi $n-1$'de sonlandırabiliriz. Ayrıca $x_0^2$ , $x_n^2-x_0^2$ ve $x^2$ sabit sayı olduğundan dışarı atalım.
\[
=x_0^2\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}-(x_n^2-x_0^2)\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}(-1)^i\frac{n!}{i!(n-i)!}-x^2\sum_{i=1}^{n-1} (-1)^ii(n-i)\frac{n!}{i!(n-i)!}
\]
\[
=x_0^2\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}-(x_n^2-x_0^2)\sum_{i=1}^{n}(-1)^i\underbrace {\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}}_{\binom{n-1}{i-1}}-x^2\sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i\frac{n!}{(i-1)!(n-i-1)!}
\]
\[
=x_0^2\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}-(x_n^2-x_0^2)\sum_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n-1}{i-1}-x^2\sum_{i=1}^{n-1} (-1)^in.(n-1)\underbrace {\frac{(n-2)!}{(i-1)!(n-i-1)!}
}_{\binom{n-2}{i-1}}\]
\[
=x_0^2\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}-(x_n^2-x_0^2)\sum_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n-1}{i-1}-x^2n.(n-1)\sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i\binom{n-2}{i-1}
\]
2. ve 3. toplamda alt ve üst indisleri yeniden düzenleyelim.
\[
=x_0^2\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}-(x_n^2-x_0^2)\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i\binom{n-1}{i}-x^2n.(n-1)\sum_{i=0}^{n-2} (-1)^i\binom{n-2}{i}
\]
Başta verilen lemma kullanılacak olursa:
\[
=x_0^2\underbrace {\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}}_{0}-(x_n^2-x_0^2)\underbrace {\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i\binom{n-1}{i}}_{0}-x^2n.(n-1)\underbrace {\sum_{i=0}^{n-2} (-1)^i\binom{n-2}{i}}_{0}
\]
\[
=0
\]
Çözüm tamamlanmıştır.