Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 31

[Metin Can Aydemir]

$xy(x-y-1)=6$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları için $x+y$'nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{21}
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{6}
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt{7}
$

[Metin Can Aydemir]

Yanıt: $\boxed{C}$

Verilen ifadede $x-y-1=a$ diyelim. $xy=\dfrac{6}{a}$ olacaktır. $x=a+y+1$ olduğundan $y^2+(a+1)y=\dfrac{6}{a}$ olur. $$(x+y)^2=(2y+a+1)^2=4y^2+4(a+1)y+(a+1)^2=(a+1)^2+\dfrac{24}{a}$$ olduğundan $x+y=\sqrt{(a+1)^2+\dfrac{24}{a}}$ olacaktır. $xy=\dfrac{24}{a}$ olduğundan $a>0$'dır.$\sqrt{(a+1)^2+\dfrac{24}{a}}$ ifadesinin minimum değeri için $(a+1)^2+\dfrac{24}{a}$ minimum olmalıdır. Türevini alıp $0$'a eşitlersek kritik noktasını buluruz, $$2a+2-\dfrac{24}{a^2}=0\Rightarrow a^3+a^2-12=(a-2)(a^2+3a+6)=0$$ olur. $a=2$ tek çözümdür ve yerel minimum olduğu kolayca kontrol edilebilir. $a=2$ için $x+y=\sqrt{21}$ bulunur.

Eşitlik durumunu verelim. $x+y=\sqrt{21}$ için $a=2$ olduğundan $x=y+3$ ve $xy=3$ olacaktır. Yani $$y(y+3)=3\Rightarrow y^2+3y+\dfrac{9}{4}=\left (y+\dfrac{3}{2}\right )^2=\dfrac{21}{4}\Longrightarrow y=\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}$$ elde edilir. $(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt{21}+3}{2},\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}\right)$ eşitlik durumu bulunur.

[llqrth]

Eşitliğin her iki tarafını $xy$ ile bölüp karesini alarak $(x-y)^2=\left(\dfrac{6}{xy}+1 \right)^2$ denklemini elde ediyoruz. Buradan, $(x+y)^2=\dfrac{36}{x^2y^2}+\dfrac{12}{xy}+4xy+1$ geliyor. $xy=a$ olmak üzere, $AGO$ eşitsizliğinden:
$$\dfrac{\dfrac{36}{a^2}+\dfrac{12}{a}+\left(\dfrac{1}{3}\times 4a\right)}{5}\geq\sqrt[5]{\dfrac{36}{a^2}\cdot \dfrac{12}{a}\cdot\left(\dfrac{4a}{3}\right)^3}=4$$ $(x+y)\geq\sqrt{4\cdot5+1}=\sqrt{21}$ olarak bulunur. Eşitlik ise $\dfrac{36}{a^2}=\dfrac{12}{a}=\dfrac{4a}{3}$ durumunda $a=3$ yani, $xy=3$ iken sağlanır. Verilen eşitlikte $xy=3$ alırsak $x-y=3$ ve bu iki eşitlikten, $(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt{21}+3}{2}, \dfrac{\sqrt{21}-3}{2}\right)$ sıralı ikilisinin eşitlik durumunu sağladığı görülür.

[geo]

Cevap: $\boxed{C}$

Ben de alternatif bir çözüm vereyim. Eşitliğin her iki tarafını $xy$ ile bölüp karesini alarak $(x-y)^2=\left(\dfrac{6}{xy}+1 \right)^2$ denklemini elde ediyoruz. Buradan, $(x+y)^2=\dfrac{36}{x^2y^2}+\dfrac{12}{xy}+4xy+1$ geliyor. $xy=a$ olmak üzere, $AGO$ eşitsizliğinden:
$$\dfrac{\dfrac{36}{a^2}+\dfrac{12}{a}+\left(\dfrac{1}{3}\times 4a\right)}{5}\geq\sqrt[5]{\dfrac{36}{a^2}\cdot \dfrac{12}{a}\cdot\left(\dfrac{4a}{3}\right)^3}=4$$ $(x+y)\geq\sqrt{4\cdot5+1}=\sqrt{21}$ olarak bulunur. Eşitlik ise $\dfrac{36}{a^2}=\dfrac{12}{a}=\dfrac{4a}{3}$ durumunda $a=3$ yani, $xy=3$ iken sağlanır. Verilen eşitlikte $xy=3$ alırsak $x-y=3$ ve bu iki eşitlikten, $(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt{21}+3}{2}, \dfrac{\sqrt{21}-3}{2}\right)$ sıralı ikilisinin eşitlik durumunu sağladığı görülür.

Bu sorunun biraz daha basiti Tübitak Lise 1. Aşama 2001/36'da karşımıza çıkmıştı.