Gönderen Konu: Yabancı Dergilerde Basılan Problemlerim  (Okunma sayısı 209 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Yabancı Dergilerde Basılan Problemlerim
« : Haziran 24, 2021, 07:11:46 ös »
Bu başlıkta yabancı dergilerde basılan problemlerimi ve çözümlerimi sunacağım. Şu anda sadece Mathematics Magazine (MM) dergisine problem gönderiyorum. Şimdilik niyetim yok ama ileride başka yayına da problem gönderirsem onları da ekleyebilirim. Dilerseniz bu problemlere ürettiğiniz farklı çözümlerinizi buradan paylaşabilirsiniz.


Problem 1. Kenar uzunlukları birer tam sayı ve $m(\widehat{A}) = 3\cdot m(\widehat{B})$ olan $ABC$ üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük değer kaçtır?


Notlar:

1. Problem, Mathematical Assocation of America (MAA) bünyesindeki Mathematics Magazine (MM) dergisinde Ekim 2017 sayısında 2026 problem numarasıyla basılmıştır. İlgili sayfa ektedir.

2. $m(\widehat{A})=3\cdot m(\widehat{B})$ olan $ABC$ üçgeninin kenarları arasındaki bağıntı buradaki ''x-3x Üçgeni'' başlığı altında incelenmişti.

3. $m(\widehat{A})=2\cdot m(\widehat{B})$ ve kenarları tam sayı olan en küçük çevreli üçgenin kenarları $4,5,6$ uzunluklarına sahiptir. Şurada verilen bağıntıdan faydalanılabilir.

Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Yabancı Dergilerde Basılan Problemlerim
« Yanıtla #1 : Haziran 24, 2021, 07:18:44 ös »
 Problem 1'in Çözümü:

$|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c$ diyelim. $[BC]$ üzerinden bir $E$ noktasını $\angle EBA=\angle EAB$ olacak biçimde alalım. Bu halde $|CE|=|CA|=b$ ve $|AE|=|EB|=a-b$ olur.
Stewart teoremini uygularsak:

$|AE|^{2}=\dfrac{|AC|^{2}\cdot |BE|+|AB|^{2\cdot }|CE|}{|BC|}-|BE|\cdot |EC|$

$$(a-b)^{2}=\dfrac{b^{2}\cdot (a-b)+c^{2}\cdot b}{a}-(a-b)\cdot b$$
olup
$$ (a-b)^{2}(a+b)=c^{2}b \tag{1}$$
eşitliğini elde ederiz. Şimdi $\dfrac{a}{b}=k,$ ($k>1$ rasyonel sayı) diyelim. $(1)$ den,

$(k-1)^{2}(k+1)b^{2}=c^{2}$ buluruz. Böylelikle,

$ c=(k-1)\sqrt{k+1}b, \quad a=kb \tag{2}$

elde ederiz ve $k+1$ bir rasyonel sayının karesi olmalıdır. Bazı $m,n$ tam sayıları için $k+1=\left( \dfrac{m}{n}
\right) ^{2}>2$ yazılır. Diğer taraftan, üçgen eşitsizliğinden
$$a<b+c, \quad c<a+b $$
olur. $(2)$ eşitliğiyle beraber üçgen eşitsizliği bize
$$(k-1)\sqrt{k+1}<k+1$$
eşitsizliğini verir ve böylece

$ 1<k<3 \tag{3}$

elde edilir. $a,b,c$ nin en küçük değerleri için $m=3,n=2$ seçmeliyiz. Buradan,
$$ k=\dfrac{5}{4}, a=\dfrac{5}{4}b, c=\dfrac{3}{8}b $$
olur. Şimdi en küçük değer olarak $b=8$ alabiliriz ve $a=10,c=3$ buluruz. Böylece tam sayı kenarlı $ABC$ üçgeninin çevresi minimum $10+8+3=21$ olur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal