Gönderen Konu: Kirişler dörtgeninde bir eşitsizlik {çözüldü}  (Okunma sayısı 289 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3109
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Kirişler dörtgeninde bir eşitsizlik {çözüldü}
« : Ocak 31, 2021, 05:10:31 öö »
Problem (R. S. Luthar): $ABCD$ kirişler dörtgeninde $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenler ise $(|AD| - |BC|)^2 + (|AB| - |DC|)^2 \geq (|AC| - |BD|)^2$ olduğunu kanıtlayınız.
« Son Düzenleme: Ocak 31, 2021, 05:09:34 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 368
  • Karma: +7/-0
Ynt: Kirişler dörtgeninde bir eşitsizlik
« Yanıtla #1 : Ocak 31, 2021, 12:09:33 ös »
Bu eşitsizliği ispatlamak için dörtgenlerle ilgili ünlü iki teoremi bilmek yeterlidir.

Euler'in Teoremi: $ABCD$ bir konveks dörtgen olsun. $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$ olmak üzere, $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2=|AC|^2+|BD|^2+4|EF|^2$$ eşitliği sağlanır.

Ptolemy Teoremi: $ABCD$ bir kirişler dörtgeni olmak üzere, $$|AB|\cdot|CD|+|BC|\cdot|DA|=|AC|\cdot|BD|$$ eşitliği sağlanır.

Euler teoreminden $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2\geq |AC|^2+|BD|^2$$ elde edilir. Ptolemy teoreminden $$-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|=-2|AC|\cdot|BD|$$ olduğundan $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|\geq |AC|^2+|BD|^2-2|AC|\cdot|BD|$$ olur. Düzenlersek, $$(|AD| - |BC|)^2 + (|AB| - |DC|)^2 \geq (|AC| - |BD|)^2$$ elde edilir. Eşitlik durumu için $|EF|=0$ olmalıdır. Yani köşegenlerin kesişim noktası ayrıca köşegenlerin orta noktasıdır. Bu durumu sağlayan dörtgenler paralelkenardır. $ABCD$ kirişler dörtgeni olduğundan eşitlik durumu dikdörtgen olmalıdır.

Not: $-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|=-2|AC|\cdot|BD|$ olarak eşitsizliğe koymak yerine pozitif hallerini koysaydık $$(|AD| + |BC|)^2 + (|AB| + |DC|)^2 \geq (|AC| + |BD|)^2$$ elde edilirdi ve eşitlik durumu hala dikdörtgen olurdu.
« Son Düzenleme: Ocak 31, 2021, 05:51:08 ös Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal