Crux 1975 Problem 1 - Newton'ın İnek Problemi {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem 1: $75$ inek $12$ günde $60$ dönümlük bir merada otlayabiliyor ve $81$ inek $15$ günde $72$ dönümlük bir merada otlayabiliyor. Kaç inek $18$ gün içinde $96$ dönümlük bir merada otlayabilir? (Newton, Arithmetica Universalis kitabında 1707'de sunmuştur.)


Dipnot: Bu soru, Crux dergisinin 1975'de yayınlanan ilk sayısının ilk problemidir ve kaynak olarak Newton gösterilmiştir. Newton soruyu sorarken, bazı ön bilgiler iyi biliniyor olsa gerek ki açıklama ihtiyacı görülmemiş. Bu bilgileri verirsek problem bağlamından kopmamış olur: Merada otlar sürekli biçimde büyümekte ve büyüme hızı da sabit olarak düşünülmelidir.

[Lokman Gökçe]

Çözüm:
$1$ inek günde $x$ birim ot tükestin, $1$ dönümde günde $y$ birim ot üretilsin. Ayrıca başlangıçta $1$ dönümde $z$ birim ot bulunduğunu kabul edelim. $z=1$ veya $z=1000$ gibi sabit bir değer alarak problemin çözümüne devam edilebilir, sonucu etkilemeyecektir. Ayrıca $n$ tane inek $18$ günde $96$ dönümlük merada otlamış olsun. $n$ değerini arıyoruz.

$$ 75\cdot 12 x = 60\cdot z + 12\cdot 60\cdot y $$ $$ 81\cdot 15 x = 72\cdot z + 15\cdot 72\cdot y $$ $$ n\cdot 18 x = 96\cdot z + 18\cdot 96 \cdot y $$
İlk iki denkemden $x$, $y$ değerleri $z$'ye bağlı (veya $z$'ye özel bir değer vererek) çözülüp üçüncü denklemde yazılırsa $n$ değeri tek türlü çözülebilir. Fakat bir başka yaklaşım da aşağıdaki şekilde olabilir. Denklemleri

$$ \left[ \begin{array}{ccc} 75\cdot12 & -12 & -60 \\ 81\cdot15 & -15 & -72 \\ 18\cdot n & -18 & -96 \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} {c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]$$

biçiminde yazalım. $z$ nin her pozitif değeri için denklem sistemi çözülebilir olduğundan katsayılar matrisinin determinantı $0$ olmalıdır.
$$ \left| \begin{array}{ccc} 75\cdot12 & -12\cdot 60 & -60 \\ 81\cdot15 & -15\cdot 72 & -72 \\ 18\cdot n & -18\cdot 96 & -96 \\ \end{array} \right| = 0$$ denklemiden $n=100$ bulunur.