2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[Metin Can Aydemir]

Negatif olmayan $a_0,a_1,a_2,\dots$ dizisi, her $n=0,1,2,\dots$ için, $$\dfrac{1}{a_0^2+a_0a_1+a_1
^2}+\dfrac{1}{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n^2+a_na_{n+1}+a_{n+1}^2}=a_{n+1}$$ indirgemeli (yineleme) bağlantısını sağlasın. Buna göre, $a_8=2$ ise, $a_{16}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{4\sqrt[3]{2}}{3} \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt[3]{3}  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt[3]{2} \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt[3]{2} \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt{3}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen eşitlikte $n$ yerine $n-1$ yazarsak $$\dfrac{1}{a_0^2+a_0a_1+a_1 ^2}+\dfrac{1}{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n-1}^2+a_{n-1}a_{n}+a_{n}^2}=a_{n}$$ bulunur. Bulduğumuz eşitliği ana eşitlikte yerine yazarsak $$a_n+\dfrac{1}{a_n^2+a_na_{n+1}+a_{n+1}^2}=a_{n+1}\Rightarrow (a_{n+1}-a_n)(a_n^2+a_na_{n+1}+a_{n+1}^2)=1$$ $$\Rightarrow a_{n+1}^3-a_n^3=1$$ bulunur. $n=8,9,\dots 15$ yazıp taraf tarafa toplarsak, $$a_{16}^3-a_8^3=8$$ bulunur. $a_8=2$ olduğundan $\boxed{a_{16}=2\sqrt[3]{2}}$ bulunur.