Gönderen Konu: 2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06  (Okunma sayısı 952 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06
« : Eylül 20, 2019, 02:42:37 ös »
Oğuz, öğretmeninin telefon numarasını bir kağıda yazıyor ve cebine koyuyor. Fakat, kağıdı cebinden çıkardığında, şekildeki gibi altı rakamın tamamen silindiğini görüyor.


Hatırladığı tek şey, telefon numarasındaki bulunan her bir rakamın en az iki kez bulunduğudur. Ayrıca, Oğuz silinen yerdeki rakamların $0,5,6,7,8$ olmadığına ve tamamının aynı rakam olmadığına da kesinlikle emindir. Buna göre, Oğuz'un öğretmeninin telefon numarası kaç farklı numara olabilir?

$\textbf{a)}\ 1400 \qquad\textbf{b)}\ 3600  \qquad\textbf{c)}\ 1800 \qquad\textbf{d)}\ 2800 \qquad\textbf{e)}\ 5900$
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Squidward

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 85
  • Karma: +3/-0
Ynt: 2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06
« Yanıtla #1 : Eylül 21, 2019, 10:42:27 ös »
Cevap: $\boxed{A}$

Yıldız yerine gelebilecek rakamlar, $I = \text{{1, 2, 3, 4, 9}}$'nın elemanlarıdır ve $5$ tanedirler.

Her bir rakam 6 haneye en az iki kez gelecek ise, en fazla 3 harfi tek bir durumda kullanabiliriz, durum incelemesi yapalım,


Durum $1$: $A,B,C \in I$, $AABBCC$

$A,B,C$ eşit sayıda bulunduğundan ayırt edilemezdirler, $5 \choose 3$ farklı şekilde seçilirler ve farklı sıralamaların sayısı, tekrarlı permütasyondan $\dfrac{6!}{2!2!2!}$ 'dir.

Durum $2$: $A,B \in I$, $AAABBB$

$A,B$ eşit sayıda bulunduğundan ayırt edilemezdirler, $5 \choose 2$ farklı şekilde seçilirler ve farklı sıralamaların sayısı, tekrarlı permütasyondan $\dfrac{6!}{3!3!}$ 'dir.

Durum $3$: $A, B \in I$, $AAAABB$

Bu sefer, $A$ ve $B$'nin sayıları birbirinden farklı olduğundan biri ayrıcalıklıdır ve ayırt edilebilirler, o yüzden önce seçilip $A$ ve $B$ arasında sıralanmalıdırlar, $\binom{5}{2} \cdot 2!$ farklı şekilde seçilir ve yerleştirilir, durumun farklı sıralamalarının sayısı ise $\dfrac{6!}{4!2!}$'dir.

tek bir sayı kullanamayacağımız koşulu verildiğinden başka durum olmadığı görülebilir, bu durumların toplamı,

$\binom{5}{3} \cdot \dfrac{6!}{2!2!2!} + \binom{5}{2} \cdot \dfrac{6!}{3!3!} + \binom{5}{2} \cdot 2! \cdot \dfrac{6!}{4!2!} = 1400$'dür, $A$ şıkkında verilmiştir.
« Son Düzenleme: Eylül 21, 2019, 10:46:56 ös Gönderen: Squidward »
ibc

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal