Gönderen Konu: 2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04  (Okunma sayısı 744 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04
« : Eylül 20, 2019, 02:28:36 ös »
$A=\dbinom{6}{6}\dbinom{12}{6}\dbinom{18}{6}\cdots \dbinom{180}{6}$ ve $B=\dbinom{8}{6}\dbinom{14}{6}\dbinom{20}{6}\cdots \dbinom{182}{6}$ olmak üzere, $$\dfrac{101\cdot B}{181\cdot A}$$ ifadesinin bir pozitif tamsayı olduğu biliniyorsa, bu tamsayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 19 \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 23 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 20$
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: 2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04
« Yanıtla #1 : Eylül 20, 2019, 07:20:47 ös »
Yanıt : $\boxed{E}$

$$A=\dfrac{6!\cdot 12!\cdot 18! \cdots 180!}{(0!\cdot 6!)\cdot (6!\cdot 6!)\cdot (6!\cdot 12!)\cdots (6!\cdot 174!)}=\dfrac{180!}{(6!)^{20}}$$

$$B=\dfrac{8!\cdot 14!\cdot 20!\cdots 182!}{(6!\cdot 2!)\cdot (6!\cdot 8!)\cdot (6!\cdot 14!)\cdots (6!\cdot 176!)}=\dfrac{182!}{2\cdot (6!)^{20}}$$

Buradan $\dfrac{101B}{181A}=91\cdot 101$  bulunur.  $91\cdot 101\equiv2(mod9)$  olduğundan bu şartı sağlayan tek şık $E$ olduğundan çarpmaya gerek yoktur.
« Son Düzenleme: Eylül 20, 2019, 08:19:30 ös Gönderen: metonster »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal