Gönderen Konu: Tübitak Genç Takım Seçme 2014 Soru 4  (Okunma sayısı 1824 defa)

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Tübitak Genç Takım Seçme 2014 Soru 4
« : Ekim 30, 2015, 11:32:20 ös »
$a,b,c$ gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=3$ eşitliğini sağlıyorsa,$$(a+5)^2+(b-2)^2+(c-9)^2$$ifadesinin alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

(Fehmi Emre Kadan)
« Son Düzenleme: Mayıs 01, 2016, 11:27:53 ös Gönderen: Eray »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Tübitak Genç Takım Seçme 2014 Soru 4
« Yanıtla #1 : Aralık 17, 2015, 10:12:45 ös »
Eşitliği düzenlersek $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6$ elde ederiz. $\text{Cauchy-Schwarz}$ eşitsizliğinden $2((a-b)^2+(b-c)^2) \ge (a-c)^2$ idir. O zaman $6 \ge \dfrac{3(a-c)^2}{2}$ elde edilir. Buradan $|a-c| \le 2$ elde edilir. $(a+5)^2+(b-2)^2+(c-9)^2=(a-1)^2+(b-2)^2+(c-3)^2+12(a-c)+96$ olur. $|a-c| \le 2 \rightarrow a-c \ge -2$ ve $(a+5)^2+(b-2)^2+(c-9)^2 \ge 72$ elde edilir. Eşitlik $a=1,b=2,c=3$ için sağlanır.
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal