Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 5

[Eray]

Gerçel sayılar kümesini $\mathbb R$ ile gösterelim. Tüm $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$koşulunu sağlayan tüm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

[Buğra Doğan]

Bu soru için benim çözümüm şu şekilde ancak hatalarım olabilir;

Soruda koşulları sağlayan tüm f fonksiyonları soruluyor.
f fonksiyonumuz ; f(x)=a, f(x)=ax+b, f(x)=ax²+bx+c, f(x)=ax³+bx²+cx+d, f(x)=...... şeklinde yazılmış olabilir ancak sorumuzdaki eşitlikte;
f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)
Eğer f(x)=a olsa eşitliğin sağ tarafındaki x'li ve y'li değer karşılıksız kalır. f(x)=ax²+bx+c yada derecesi daha büyük fonksiyonlar şeklinde yazılırsa eşitliğin sol tarafında iç içe geçmiş iki fonksiyon değeri olduğundan bu derece katlanacak ve eşitlik açık haliyle düzenlendiğinde x² ve daha büyük dereceli x'li ifadelerin katsayıları otomatik olarak 0 a eşit olması gerekecek. Sonucunda da f(x) yine ax+b formatında kalıcaktır. Yani sorulan eşitliği sağlayan fonksiyonlar her koşulda f(x)=ax+b formatında olmalıdır ve bu formatta denklemimizi düzenlersek;

→ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)

→ f(x+ax+ay+b)+axy+b=x+ax+ay+b+axy+by

→ ax+a²x+a²y+ab+b+axy+b=x+ax+ay+b+axy+by

→ a²x+a²y+ab+b=x+ay+by

Burada denklemin eşitlenebilmesi için x'li ve y'li ifadelerin katsayıları eşitlenmelidir.Sonuç olarak;

a²=1
a²=a+b
ab+b=0

denklemleri ortaya çıkar ve bu denklemleri sağlayan a ve b değerlerini bulalım.
Öncelikle ilk denkleme göre a=1 ve a=-1 olabilir. a=1 olduğunda ikinci denkleme göre b=0 olur ve bu değerler üçüncü denklemi de sağlar. Yani f(x)=ax+b şeklindeki fonksiyonumuzda değerleri yerine koyarsak; f(x)=x fonksiyonu verilen denklemi sağlayan ilk cevap olarak karşımıza çıkar.

İkinci olarak a=-1 i ikinci denklemimizde denersek b=2 olmalıdır. Tekrardan iki değeri de üçüncü fonsiyonumuzda yerlerine koyarsak üçüncü denklemi de sağladığını görürüz ve buradan sorumuzun ikinci cevabı olduğu görülür. Bu da f(x)=-x+2 fonksiyonu..

Sonuç olarak:
Tüm x ve y gerçel sayıları için;
f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)

koşulunu sağlayan tüm f:R→R fonksiyonları f(x)=x ve f(x)=2-x şeklinde yazılabilen fonksiyonların tümüdür.

[Eray]

Çözüme başlarken fonksiyonu polinom şeklinde kabul etmişsiniz ancak fonksiyon polinom şeklinde olmak zorunda değildir. Her türlü matematiksel ifade (üstel fonksiyon, köklü ifade vs.) fonksiyon olabilir.

[Buğra Doğan]

Haklısınız hocam olabilir tabiki çözüm yaparken bunları düşündüm ancak bu tarz eşitlikli ve fonksiyonların dışında kalan x'li ve y'li ifadeler bulunduğunda eşitlik nasıl sağlanır ? Yani üstel ve köklü ifadeli fonksiyon şekillerinde denediğimde eşitliğin sağlanması yine mümkün olmuyor.Çünkü sağ tarafta yalnız başına bir x ve sol tarafta iç içe durumda bulunan fonksiyon grubu var. Bunların bir katsayısı olsa da olmasa da eşitliğini bulamıyor ve 0 oluyor, eşitlikte yeri olmaması gerekiyor yani. Bende çözümümde, geriye olası şekilde bir tek ax+b polinom fonksiyonu kaldığını gördüm ve burdan yola devam ettim. Çözümüm eksik cevaplı olabilir. Başka alternatif çözümler ve sonuçlar varsa bende merakla bekliyorum hocam. Bir de bir sorum var; ben bu tarz sorulara yaklaşırken özel bir özdeşlik yoksa çoğunlukla eşitliğin durumuna bakarak olası fonksiyonları değerlendirerek üzerinde çalışıyorum. Bu tarz problemlere daha garanti ve daha kapsamlı şekilde yaklaşabileceğim daha kısa bir yol, yöntem var mıdır

[Eray]

Evet, fonksiyonel denklemlerin çok büyük çoğunluğunda tek çözüm $f(x)=x$ oluyor. Bazen sabit bir fonksiyon veya bu soruda olduğu gibi başka bir doğrusal fonksiyon da çözüm olabilir.

Üstel fonksiyon gibi fonksiyonların çözüm olamayacağını hissetmek kolay, ancak soruyu tam anlamıyla çözmüş olmak için ispatlamak da gerekiyor. Lakin her tür fonksiyon için o tür fonksiyonun çözüm olamayacağını ispatlamak için sınırsız vakte ihtiyacımız var. Dolayısıyla denklemde fonksiyon türlerini denemek yerine doğrudan çözmek zorundayız.

Fonksiyonel denklemleri çözmek için uygulanabilecek temel yöntemler ve birtakım çözümlü sorular için şu siteyi inceleyebilirsiniz:
IMOmath: Functional Equations: http://www.imomath.com/index.php?options=338