Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 7  (Okunma sayısı 2094 defa)

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +5/-0
Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 7
« : Nisan 02, 2015, 11:24:32 ös »
Tüm $x, y$ gerçel sayıları için, $$f(x^2)+4y^2f(y)=(f(x-y)+y^2)(f(x+y)+f(y))$$ koşulunu sağlayan bütün $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan)
« Son Düzenleme: Nisan 26, 2016, 08:26:31 ös Gönderen: mehmetutku »
Geometri candır...

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 7
« Yanıtla #1 : Nisan 05, 2016, 10:16:34 ös »
$(0,-x)$ ve $(0,x)$ koyulursa $f(x)=f(-x)$ olur. $x=0$ koyup $f(y)=f(-y)$ kullanırsak $4y^2f(y)=2f(y).(f(y)+y^2)$ olur. $f(y)=0$ sabit fonksiyonu sağlar. $f(y) \neq 0$ için $y^2=f(y)$ olur. Sonuç olarak $f(x)=0,f(x)=x^2$ sağlar.

Ancak incelenmesi gereken bir şey daha vardır: Bazı $x$ ler için $f(x)=0$ bazıları için $f(x)=x^2$ olabilir. $f(u) \neq u^2$ olanlar için $f(x+2u)=f(x)$ olduğunu biliyoruz. $(0,x)$ ve $(0,x+2u)$ koyulursa $(x+u)f(x)=0$ elde edilir. $\forall x\ne -u$ için $f(x)=0$ elde edilir. $f(u)=0$ olduğundan ve baştaki bulgulardan $f(-u)=0$ olur. O halde her $u$ için $f(u)=0$ olmalıdır.

$f(x)=0, f(x)=x^2$ sağlar.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 12:52:06 ös Gönderen: geo »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal