Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2005 Soru 3

[ERhan ERdoğan]

$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için $xyz\geq 1$ olmak üzere;
$$\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2}+\dfrac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0$$ olduğunu kanıtlayınız.

[MATSEVER 27]

Bu eşitsizlik;
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \le 3$$
ile özdeştir. Bunu ispatlayalım. Cauchy-Schwarz'dan;
$$(x^5+y^2+z^2)(yz+y^2+z^2) \ge (x^{\frac{5}{2}}(yz)^{\frac{1}{2}}+y^2+z^2)^2 \ge (x^2+y^2+z^2)^2$$
biliyoruz. O halde benzer şekilde yapılıp toplanırsa;
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \le 2+\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} \le 3$$
olduğundan doğrudur. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu soru aslında çoğu eşitsizlik yönteminin kullanılabildiği sorulardan. Genelleştirmeye çalışırken ilk önce $n$'den bağımsız olması için çabaladım ancak sonucunda
$$2p=5r$$
çıkıyor. Burada $p=5k$ ve $r=2k$ vermenin problemi genelleştirmediğine dikkat edelim.

Buradan sonra aslında $n$'e bağlı olduğu anlaşılıyor.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş IMO 2005 #3