Kaba bir ispatla sayının $2$ veya $3$ basamaklı olduğunu gösterelim.
Varsayalım ki $x$ sayısı $n$ basamaklı olsun.
$x^2\ge 10^{2n-2}$ olduğundan $2n-1$ basamaklı en küçük sayıdır ve diğer $2$ terim negatif olduğu için basamaklar çarpımının minimum değeri $x^2-10x-22 > 10^{2n-3}$
Sayının basamaklar çarpımının maximum değeri ise $n$ tane $10$ çarpılmış olsaydı bile $10^n$ olurdu.
Basamaklar çarpımının maximum değeri minimum değerinden büyük veya tek değer alabiliyorsa eşit olacağından dolayı $10^n > 10^{2n-3}$ yani $n < 3$ bulunur.
$x$ tek basamaklı ise $x=x^2-10x-22$ olacağından dolayı $\bigtriangleup$ tamkare olmadığından çözüm gelmez.
$x$ iki basamaklı ise $x=ab$ alalım. $a.b=(10a+b)^2-10.(10a+b)-22$
$a\ge 2$ için $b$ rakam olmak üzere
$$100a^2+19ab+b^2-100a-10b-22>0$$
olduğundan denklemin çözümü yoktur. $a=1$ olmalıdır.
$b^2+9b-22=0$ bulunur. Çözülürse $b=2$ bulunur. $x=12$ sağlar.
