Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1968 Soru 1  (Okunma sayısı 1858 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1968 Soru 1
« : Kasım 02, 2013, 05:05:01 ös »
Kenar uzunlukları ardışık tam sayılar olan ve açılarından biri diğerinin iki katı olan, bir ve yalnız bir üçgenin bulunduğunu kanıtlayınız.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1968 Soru 1
« Yanıtla #1 : Mayıs 21, 2014, 12:42:47 öö »
Öncelikle aşağıdaki lemmayı ispatlayalım:

Lemma: Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{B})=2m(\widehat{C})$ ise $b^2=c^2+ac$ dir.

İspat: $[CB]$ doğru parçasının $B$ yönünde uzantısı üzerinden $|AB|=|BD|=c$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $DAC$ üçgeni ikizkenar olup $|AD|=|AC|=b$ dir. $ABD \sim DAC$ benzerliğinden $\dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|DB|}{|AD|}$ olup $b^2=c^2+ac$ elde edilir.

Şimdi ana problemimize dönelim. Büyük açının gördüğü kenar daha uzun olduğundan $b>a$ dır. $b^2=c^2+ac$ bağıntısından dolayı $b>c$ dir. O halde üçgenin kenar uzunlukları $x,x+1,x+2$ tamsayıları ise $b=x+2$ dir.

1. Durum: $a=x$, $c=x+1$ ise $(x+2)^2=(x+1)^2+x(x+1)$ olup $x^2-x-3=0$ denklemi elde edilir. Bu denklemin tamsayı kökü yoktur.

2. Durum: $a=x+1$, $c=x$ ise $(x+2)^2=x^2+x(x+1)$ olup $x^2-3x-4=0$ denklemi elde edilir. Buradan $x=4$ bulunur. Yani istenen özellikte bir tek $ABC$ üçgeni vardır ve $a=5$, $b=6$, $c=4$ kenar uzunluklarına sahiptir.
« Son Düzenleme: Haziran 28, 2014, 03:34:17 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal