Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 2

[geo]

$A$, $B$, $C$, $D$ ve $E$ den oluşan beş nokta, $ABCD$ bir paralelkenar ve $BCED$ konveks bir kirişler dörtgeni olacak biçimde verilmiş olsun. $A$ dan geçen bir $\ell$ doğrusu, $[DC]$ doğru parçasını bir $F$ iç noktasında ve $BC$ doğrusunu da bir $G$ noktasında kessin. $|EF|=|EG|=|EC|$ olduğunu varsayalım. $\ell$ nin,  $\widehat{DAB}$ açısının açı ortayı olduğunu kanıtlayınız.

[ERhan ERdoğan]

$AC \cap BD = \left \{N \right \} $ ve $E$ den $[CG]$ ve $[CF]$ ye çizilen dikme ayakları sırasıyla $K$ ve $M$ olsun. $K,M,N$ noktaları sırasıyla $[CG] , [CF] , [CA]$ doğru parçalarının orta noktalarıdır.$G-F-A$ doğrusal noktalar olduğundan, $K-M-N$ noktaları da doğrusaldır.

$E$ noktası $BDC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde $EK \perp BC$ , $EM \perp DC$ olduğundan $KM$, $BDC$ üçgenine ait simson-wallace doğrusudur.Buna göre $EN \perp BD$ olacaktır. Ayrıca $|BN|=|ND|$ olduğundan $|EB|=|ED|$ dir.

Bu sonuç $BCED$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle{FCE}=\angle{GCE}$ demektir. Buna göre $|CF|=|CG|$ olup $\angle{BAG}=\angle{DAG}$ dir.