Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 5

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde $\angle BCA = 90^\circ$ ve $C$ köşesinden indirilen yüksekliğin ayağı $D$ olsun. $[CD]$ doğru parçası üzerinde $C$ ve $D$ noktalarından farklı bir $X$ noktası alınıyor. $[AX]$ doğru parçası üzerinde $|BK|=|BC|$ olacak şekilde bir $K$ noktası ve benzer şekilde $[BX]$ doğru parçası üzerinde $|AL|=|AC|$ olacak şekilde bir $L$ noktası seçiliyor. $AL$ ve $BK$ doğrularının kesişim noktası $M$ olsun. $|MK|= |ML|$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$AB$ çaplı çember $AX$ ile $BX$ doğrularını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kessin. $BF \perp AF$ ve $AE \perp BE$ olduğu için $AF \cap BE = \{P\}$ ise $\triangle PAB$ de $X$ diklik merkezi, dolayısıyla $P$, $C$, $X$, $D$ noktaları doğrusaldır.

$BD \cdot AB = BC^2 = BK^2$ olduğu için $\angle KAB = \angle BKD$ dir. Ayrıca $\angle KAB = \angle DPB$ olduğu için $P$, $B$, $D$, $K$ noktaları çemberseldir. Yani $\angle PKB = \angle PDB = 90^\circ$ dir. Diğer bir ifadeyle $PK$, $(B, BK)$ çemberine teğettir.
Benzer şekilde $\angle PLA = 90^\circ$ ve $PL$, $(A,AL)$ çemberine teğettir.

$C$ nin $AB$ ye göre simetriği $C'$ olsun. $B$ merkezli $BC'=BK=BC$ yarıçaplı çember ile $A$ merkezli $AC=AL=AC'$ yarıçaplı çemberin kuvvet ekseni $CC'$ dür. Yani $P$ kuvvet ekseni üzerinde bir noktadır. O halde, $PK=PL$ dir. Bu durumda $PKML$ dörteninde karşılıklı açılar $90^\circ$ olduğu için $MK=ML$ dir.