Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinin karşısındaki dışteğet çemberin merkezi $J$ noktası olsun. Bu dışteğet çember $BC$ kenarına $M$, $AB$ ve $AC$ doğrularına ise sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında teğettir. $LM$ ve $BJ$ doğruları $F$ noktasında, $KM$ ve $CJ$ doğruları ise $G$ noktasında kesişiyor. $AF$ ve $BC$ doğrularının kesişim noktası $S$, $AG$ ve $BC$ doğrularının kesişim noktası ise $T$ olsun. $M$'nin $[ST]$ doğru parçasının orta noktası olduğunu kanıtlayınız.
($ABC$ üçgeninin $A$ köşesinin karşısındaki dışteğet çember; $BC$ kenarına, $B$'nin ötesinde $[AB$ ışınına ve $C$'nin ötesinde $[AC$ ışınına teğet olan çemberdir.)

[geo]

Açık şekilde $BJ \perp KM$ ve $CJ \perp ML$.
$JFG$ üçgeninde $GM$ ve $FM$ doğruları yükseklik olduğu için $JM$ doğrusu da yüksekliktir. Dolayısıyla $JM \perp FG$, yani $BC \parallel FG$ dir.
$\angle AJC = \dfrac {\angle ABC}{2} = \angle BKM = \angle AKG = \angle AJG$ olduğu için $A$, $K$, $J$, $G$ çemberseldir.
Bu durumda $\angle JAG = \angle GKB = \angle JBM = \angle JFG$ olacağı için $J$, $F$, $A$, $G$ noktaları da çemberseldir.

$\angle FGA = \angle FJA = \dfrac {\angle BCA}{2} = \dfrac{180^\circ - 2\cdot \angle BCJ  }{2} = 90^\circ - \angle FGJ \Rightarrow JG \perp AG$.

$\triangle ACT$ de $CG$ hem açıortay hem de yükseklik olduğu için $AC=CT$, benzer şekilde $AB=BS$ dir. $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ ve $u$ yarıçevre ise $BM=u-c$, $CM=u-b$ ve $SM=TM=u$ olacaktır.