Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 6  (Okunma sayısı 2841 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 6
« : Ağustos 09, 2013, 01:59:09 ös »
$\Lambda $ düzlemdeki kafes noktalarının kümesi ve $\mathcal{F}$ de, $ \Lambda $ dan $\lbrace -1,1\rbrace $ kümesine fonksiyonların kümesi olsun. $\mathcal{F}$ deki bir $f$ fonksiyonu, $\mathcal{F}$ ye ait olan ve $f$ den farklı değer aldığı kafes noktalarının sayısı sonlu olan her $g$ fonksiyonu için, $$\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)-g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge 0$$ koşulunu sağlıyorsa, $f$ ye şahane diyelim. Birbirinin ötelemesi olmayan sonsuz çoklukta şahane fonksiyon bulunduğunu kanıtlayınız.

(Azer Kerimov)
« Son Düzenleme: Kasım 13, 2013, 02:42:50 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 423
  • Karma: +4/-8
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 6
« Yanıtla #1 : Aralık 06, 2016, 01:13:08 öö »
(Süha Bardakçı)

İlk olarak, $f$ ve $g$ fonksiyonları $\mathcal{F}$ üzerinde integrallenebilirdir. Buna bağlı olarak bir iddia ortaya atalım.

Tanım:Alttan integral, bir fonksiyonun $x$ ekseninin altında kalan alanı, üstten integral ise $x$ ekseninin üstünde kalan alanı ifade etmektedir.

İddia: Şahane $f$ fonksiyonunun, $\begin{align*}\lim A=\infty\end{align*}$ koşulunu sağlayan  herhangi bir  $A$ bölgesi için, alttan ve üstten integralleri birbirlerinin ters işaretlisidir. Yani $\begin{align*}\int_{\mathcal{F}_{alt}}fdA=-\int_{\mathcal{F}_{üst}}fdA\end{align*}$ Eşitliği geçerlidir.

İspat: Vektörel olarak $x_i$ kafes noktalar kümesi ve $k,m\in \Lambda$ noktaları için,$$\lim_{k\rightarrow \infty}\sum_{k\in \Lambda} (x_{2k+1}-x_{2k})=\int_{\mathcal{F}_{üst}}fdA$$ şeklinde tanımlayalım.

Tanım gereği, Alt toplamı da $$\lim_{m\rightarrow \infty}\sum_{m\in \Lambda} (x_{2m-1}-x_{2m})=\int_{\mathcal{F}_{alt}}fdA$$
şeklinde tanımlamalıyız. Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak, istediğimizi elde etmiş oluruz. İspat biter. $\blacksquare$

O halde $f$ fonksiyonunun integrali, alt ve üst integrallerin toplamı olacağından, bu değer $0$ a eşit olur. bunu kullanarak, soruda verilen eşitsizlikte her iki tarafta integral alırsak,

$$\int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)-g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge 0$$

$$\int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge \int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}$$

$f$ şahane ise zaten eşitsizliğinin sol tarafı $0$ olacağından, İspatlamamız gereken,

$$0 \geq \int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}$$ eşitsizliğini sağlayan $f$ den farklı sonsuz sayıda kafes noktası olan sonsuz tane $g$ fonksiyonu olduğunu göstermek. $|PQ|$ değeri pozitif olacağından, $g(P)g(Q)$ ifadesi sonsuz sayıda $f$ den farklı kafes noktası için negatif değer alabilir. O halde Sonsuz tane Şahane fonksiyon bu koşulları sağlayabilir.
Sıradan bir matematikçi...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal