Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 4  (Okunma sayısı 3062 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 4
« : Ağustos 09, 2013, 01:58:04 ös »
$0\le k<n$ tam sayılar ve $A=\lbrace a : a\equiv k \pmod n\rbrace $ olmak üzere, hiçbir $(a,m) \in A\times \mathbf{Z}^{+}$ için, $$ \dfrac{a^{m}+3^{m}}{a^{2}-3a+1}$$ ifadesinin değeri tam sayı değilse, $n $ nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan, Okan Tekman)
« Son Düzenleme: Kasım 13, 2013, 02:41:56 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 423
  • Karma: +4/-8
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 4
« Yanıtla #1 : Temmuz 27, 2016, 12:41:35 öö »
$10^m+3^m\equiv 0 \pmod{71}$ denkliğinin çözümü var mıdır ? :P En küçük $n=10$ koşulu sağlıyor fakat Fehmi bey cevabı $11$ olarak vermiş, ispat olarak, $n=11$ in sağladığı ve $a=-5$ den $12$ ye kadar denenmiş fakat arada $9$ ve $10$ atlanmış, bir yerlerde hata olmasın !  ;D

https://www.artofproblemsolving.com/community/c6h364704p2004370


$\begin{align*} \Rightarrow 10^m+3^m = 13\left( \sum_{\ell =0}^{m} 10^{(m-1)-\ell}3^{\ell}\right) \Rightarrow \left( \sum_{\ell =0}^{m} 10^{(m-1)-\ell}3^{\ell}\right) \not \equiv 0 \pmod{71} \end{align*} $ Böylece $n=10$ seçip $k=0$ olarak alabiliriz ve $k<n$ olur. Ayrıca $\begin{align*}  a \equiv 0\pmod{10} \Rightarrow a=10^{\kappa},\kappa \in \mathbb{Z^{+}} \Rightarrow (10^{\kappa}+3)\left( \sum_{\ell =0}^{\kappa m} 10^{(\kappa m-1)-\ell}3^{\ell}\right)  \Longrightarrow 10^{\kappa}\not \equiv -3 \pmod{71}, \left( \sum_{\ell =0}^{\kappa m} 10^{(\kappa m-1)-\ell}3^{\ell}\right) \not \equiv 0\pmod{71} \end{align*} $   Burada herhangi bir yanlışlık var mı ?
« Son Düzenleme: Temmuz 27, 2016, 02:11:38 öö Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 4
« Yanıtla #2 : Temmuz 27, 2016, 02:55:52 ös »
Çözümde küçük bir yeri  atladığınızı veya yanlış anlamış olabileceğinizi düşünüyorum. :)

$n=10$ olsun diyelim. $a=12$ ve $m=9$ alalım. $ \dfrac{a^{m}+3^{m}}{a^{2}-3a+1}=(12^9+3^9)(12^2-12.3+1)=3^9. \dfrac{4^9+1}{109}=2405.3^9$ olduğundan tamsayıdır. Dolayısıyla $n=10$ için sağlamayan örnek vardır. Yani $n$ sayısı en küçük değeri $10$ olamaz.
« Son Düzenleme: Temmuz 27, 2016, 02:59:38 ös Gönderen: MATSEVER 27 »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 423
  • Karma: +4/-8
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 4
« Yanıtla #3 : Temmuz 27, 2016, 03:16:03 ös »
Haklısınız fakat $n=11$ kanıtlanırken, ya $a\equiv 5\pmod{11}$ olursa diyerek çözüm gelmeyeceği gösterilmiş, $a\equiv k \pmod{11}$ için bu bir ispat niteliği taşır mı ? yoksa gene bir yeri mi kaçırıyorum. Yanlışım varsa düzeltin :P
« Son Düzenleme: Temmuz 27, 2016, 03:20:13 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal