Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2007 Soru 3  (Okunma sayısı 2320 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 2007 Soru 3
« : Ağustos 09, 2013, 01:44:24 ös »
$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları, $a+b+c=1$ koşulunu sağlıyorsa, $$\dfrac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\dfrac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\dfrac{1}{ca+2b^{2}+2b}\ge \dfrac{1}{ab+bc+ca}$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Selim Bahadır)
« Son Düzenleme: Kasım 13, 2013, 02:47:28 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı merdan97

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 30
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2007 Soru 3 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 30, 2013, 04:16:52 ös »
Eşitsizliğin ispatı için, $$\dfrac{ab+ac+bc}{ab+2c^{2}+2c}+\dfrac{ab+ac+bc}{bc+2a^{2}+2a}+\dfrac{ab+ac+bc}{ca+2b^{2}+2b}\ge 1$$ olduğunu göstereceğiz. Bunun için, önce $$\dfrac{ab+ac+bc}{ab+2c^{2}+2c}\ge \dfrac{ab}{ab+bc+ac}$$ olduğunu gösterelim.Bu eşitsizlik $$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)\ge a^2b^2+2abc^2+2abc$$ eşitsizliğine denktir. $(a+b+c)=1$ olduğundan dolayı,bu eşitsizliği de $$b^2c^2+c^2a^2 \ge 2abc^2$$
biçiminde yazabiliriz. $A.O.\ge G.O.$ eşitsizliğine göre $$\dfrac{b^2c^2+c^2a^2}{2} \ge \sqrt{b^2c^2c^2a^2} $$ olduğundan bu eşitsizlik doğrudur.
Benzer şekilde, $$\dfrac{ab+ac+bc}{bc+2a^{2}+2a}\ge \dfrac{bc}{ab+bc+ac}$$ $$\dfrac{ab+ac+bc}{ca+2b^{2}+2b}\ge \dfrac{ca}{ab+bc+ac}$$ olduğu gösterilerek, bulunan bu üç eşitsizlik taraf tarafa toplanırsa, istenilen eşitsizlik elde edilecektir.

Kaynak:
Doç. Dr. Mustafa Özdemir (Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 sayfa 319)
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 10:00:05 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal