$x_2=x_1^2$
$n> 2$ ise $x_n=x_{n-1}^2+x_{n-1}$ olur. p $x_1$'i bölerse $x_2$'yi böler.
$p$ $x_{n-1}$'i bölüyorsa $x_n$'i böler.
Buna göre p $x_k$'yı bölüyorsa $m\ge k$ için $x_m$'i de böler.
$2006=2.17.59$
$x_1$ çiftse tüm terimler çifttir.
$x_1$ tekse ilk iki terim hariç hepsi çifttir.
$x_{2006}$ her zaman çifttir. Şimdi $17$ ve $59$'a bölünme durumlarına bakalım.
Önce bir yardımcı teorem ispatlayalım:
Yardımcı teorem: $p=3k+2$ formunda bir asal sayıysa $x^2+x\equiv -1\pmod p$ denkliğinin çözümü yoktur.
İspat: Diyelim ki çözüm olsun.
$x^2+x+1\equiv 0\pmod p$
$x^3-1\equiv 0\pmod p$
$x^3\equiv 1\pmod p$
$x^{3k}\equiv 1\pmod p$
Aynı zamanda fermat teoreminden
$x^{3k+1}\equiv 1\pmod p$ buradan $x=1$ olur ki $2\equiv -1\pmod p$, $3\equiv 0\pmod p$. Ki bu olamaz. İspat biter.
Şimdi $17$'e bölünme durumunu inceleyelim.
$x_1$ $17$'ye bölünüyorsa durum sağlanır.$x_1$ bölünmüyorsa $x_2$ $17$'ye bölünen en küçük sayıysa $x_1$ de bölünür ki bu olamaz.
$x_3$ $17$'ye bölünen en küçük sayıysa $x_2^2+x_2\equiv 0\pmod {17}$
$x_2\equiv -1\pmod {17}$
$x_1^2\equiv -1\pmod {17}$
$x_1\equiv 4,13\pmod {17}$
$m> 3$ için $x_m$ 17'ye bölünen en küçük sayı olsun.
$x_m=x_{m-1}^2+x_{m-1}\equiv 0\pmod {17}$
$x_{m-2}^2+x_{m-2}=x_{m-1}\equiv -1\pmod {17}$
$x_{m-2}^2+x_{m-2}\equiv -1\pmod {17}$
$17=3.5+2$ olduğundan yardımcı teoreme göre denkliğin çözümü yoktur.
$x_1\equiv 0,4,13\pmod {17}$ (1)
59'a bölünme durumuna bakalım.benzer şekilde
$x_1$ $59$'ye bölünüyorsa durum sağlanır.$x_1$ bölünmüyorsa
$x_2$ $59$'ye bölünen en küçük sayıysa $x_1$ de bölünür ki bu olamaz.
$x_3$ $59$'ye bölünen en küçük sayıysa $x_2^2+x_2\equiv 0\pmod {59}$
$x_2\equiv -1\pmod {59}$
$x_1^2\equiv -1\pmod {59}$
$59$, $4k+3$ formunda olduğundan bu denkliğin çözümü yoktur
$m> 3$ için $x_m$ $59$'a bölünen en küçük sayı olsun
$x_m=x_{m-1}^2+x_{m-1}\equiv 0\pmod {59}$
$x_{m-2}^2+x_{m-2}=x_{m-1}\equiv -1\pmod {59}$
$x_{m-2}^2+x_{m-2}\equiv -1\pmod {59}$
$59=3.19+2$ olduğundan yardımcı teoreme göre denkliğin çözümü yoktur.
$x_1\equiv 0\pmod {59}$ (2)
(1) ve (2)'yi birleştirirsek
$x_1\equiv 8.59,9.59,17.59\pmod {17.59}$
$x_1=8.59=472$ en küçük pozitif değerdir.
