Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 1999 Soru 4  (Okunma sayısı 2666 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 1999 Soru 4
« : Ağustos 08, 2013, 06:43:20 ös »
Çevresi $C_K$, alanı $A_K$ olan bir kirişler dörtgeninin çevrel çemberine bu dörtgenin köşelerinde teğet olan teğetler dörtgeninin alanı $A_T$ ve çevresi de $C_T$ olmak üzere $\dfrac{A_K}{A_T} \geq \left(\dfrac{C_K}{C_T}\right)^2$ olduğunu ispatlayınız.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:46:22 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1999 Soru 4
« Yanıtla #1 : Eylül 22, 2013, 12:55:08 ös »
Çemberin merkezi $I$, yarıçapı $1$, söz konusu teğetler dörtgeni $ABCD$ ve çember $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ kenarlarına sırasıyla $D,E,F,G$ noktalarında dokunsun.
$\angle GID = 2\alpha$, $\angle DIE = 2\beta$, $\angle EIF = 2\theta$, $\angle FIG = 2\gamma$ olsun.
$AG=AD=\tan \alpha$, $BD=BE=\tan \beta$, $CE=CF=\tan \theta$, $FD=GD=\tan\gamma$ ve $GD=2\sin\alpha$, $DE=2\sin\beta$, $EF=2\sin \theta$, $FG=2\sin \gamma$ olacaktır. Bu durumda $$\begin{array}{rcl}
A_K &=& \dfrac{\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\theta + \sin 2\gamma}2 = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \beta \cos \beta + \sin \theta \cos \theta + \sin \gamma \cos \gamma \\
A_T &=& \tan \alpha + \tan \beta + \tan \theta + \tan \gamma \\
C_K &=& 2\sin\alpha+2\sin\beta+2\sin \theta+2\sin \gamma \\
C_T &=& 2\tan \alpha + 2\tan \beta + 2\tan \theta + 2\tan \gamma
\end{array}$$ olur. $$\dfrac{\sin \alpha \cos \alpha + \sin \beta \cos \beta + \sin \theta \cos \theta + \sin \gamma \cos \gamma}{\tan \alpha + \tan \beta + \tan \theta + \tan \gamma} \geq \left(\dfrac{2\sin\alpha+2\sin\beta+2\sin \theta+2\sin \gamma}{2\tan \alpha + 2\tan \beta + 2\tan \theta + 2\tan \gamma}\right)^2$$ $$\left(\sin \alpha \cos \alpha + \sin \beta \cos \beta + \sin \theta \cos \theta + \sin \gamma \cos \gamma \right)(\tan \alpha + \tan \beta + \tan \theta + \tan \gamma) $$ $$\geq (\sin\alpha+\sin\beta+\sin \theta+\sin \gamma)^2$$ $\sqrt {\sin \alpha \cos \alpha} = a_1$ ve $\sqrt {\tan \alpha} = b_1$ dediğimizde $a_1b_1 = \sin \alpha$ olacağı için eşitsizlik Cauchy–Schwarz'a dönüşür.
Eşitlik $\sin \alpha = \sin \beta = \sin \theta = \sin \gamma$ olduğunda sağlanır. $\alpha + \beta + \theta + \gamma = 180^\circ$ olduğu için açılar $45^\circ$ ve $ABCD$ ve $DEFG$ birer kare olacak. Yani eşitlik, kirişler dörtgeni kare iken sağlanır.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:46:28 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal