Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 4  (Okunma sayısı 2807 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 4
« : Ağustos 08, 2013, 06:23:08 ös »
Köşeleri birim çember üzerinde bulunan bir $ABCDE$ dışbükey beşgeninin $[AE]$ kenarı bu çemberin merkezinden geçmektedir. $\vert AB\vert =a$, $\vert BC\vert =b$, $\vert CD\vert =c$, $\vert DE\vert =d$ ve $ab=cd=\dfrac{1}{4}$ ise, $\vert AC\vert+\vert CE\vert$ toplamının $a,b,c,d$ türünden değeri ne olur?
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:41:03 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 4
« Yanıtla #1 : Eylül 07, 2013, 06:18:09 ös »
$AC=x$ ve $CE=y$ olsun. Bu durumda, $BE^2 = 4-a^2$, $AD^2 = 4 - d^2$ ve $x^2 + y^2 = 4$ olacaktır.
$ABCE$ de Ptolemy'den $$(ay+2b)^2 = x^2(4-a^2)$$ $$a^2y^2 + 4b^2 + 4aby = 4x^2 - a^2x^2$$
$ACDE$ de Ptolemy'den $$(2c+dx)^2 = y^2(4-d^2)$$ $$d^2x^2 + 4c^2 + 4cdx = 4y^2 - d^2y^2$$
Taraf tarafa topladığımızda,
$$4b^2 + 4c^2 + a^2y^2 + a^2x^2 + d^2x^2 + d^2y^2 + 4aby + 4cdx = 4x^2 + 4y^2$$
$x^2 + y^2 = 4$, $ab=cd=1/4$ değerlerini yerine yazarsak
$$4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4d^2 + x + y = 16$$ $$x+y = 16 - 4a^2 - 4b^2 - 4c^2 - 4d^2 = 4(4-a^2-b^2-c^2-d^2)$$ elde ederiz.

Not:
$|AC|+|CE|$ toplamı birden farklı şekilde $a,b,c,d$ cinsinden yazılabilir. Bunlardan bazıları birkaç işlemden sonra elde edilebiliyor; ama çok güzel durmuyor. Büyük ihtimalle, cevap olarak beklenen yukarıda bulunan ifade. Sorunun "... olduğunu gösteriniz."  şeklinde bir kalıpla sorulması daha doğru olurmuş.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:40:05 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal