Tübitak Lise Takım Seçme 1995 Soru 6

[Lokman Gökçe]

$\left( x_{n} \right )$ gerçel sayı dizisi $$x_{1}=1, \quad x_{n+1}=x_{n}+x_{n}^{1/3} \qquad (n\ge 1)$$ biçiminde tanımlanıyor. $\lim \limits_{n\to \infty }\dfrac{x_{n}}{an^{b}}=1$ olacak şekilde $a$ ve $b$ gerçel sayılarının varlığını gösteriniz.

[geo]

$c_n=x_n n^{-3 / 2}$ olarak belirleyelim; $c_n \rightarrow(2 / 3)^{3 / 2}$ olduğunu kanıtlayacağız. $n\left[(1+1 / n)^{3 / 2}-1\right] \rightarrow 3 / 2$ olduğunu hatırlayalım, bu nedenle herhangi bir $\epsilon>0$ için, $n \geq N$ için
$$
3 / 2-\epsilon<n\left[(1+1 / n)^{3 / 2}-1\right]<3 / 2+\epsilon .
$$ Şimdi, $n \geq N$ ve $c_n<(3 / 2+\epsilon)^{-3 / 2}$ ise, $c_n^{2 / 3}<(3 / 2+\epsilon)^{-1}$ ve bu nedenle $(3 / 2+\epsilon) c_n<c_n^{1 / 3}$ olur.
$$
\begin{aligned}
x_{n+1} & =x_n+x_n^{1 / 3} \\
& =c_n n^{3 / 2}+c_n^{1 / 3} n^{1 / 2} \\
& >c_n n^{3 / 2}+(3 / 2+\epsilon) c_n n^{1 / 2} \\
& >c_n n^{3 / 2}+c_n n\left((1+1 / n)^{3 / 2}-1\right) n^{1 / 2} \\
& =c_n n^{3 / 2}(1+1 / n)^{3 / 2} \\
& =c_n(n+1)^{3 / 2} .
\end{aligned}
$$ Bu nedenle $c_{n+1}>c_n$ dir. $\left\{c_n\right\}$ dizisinin alt limitinin (limit inferior) her $\epsilon>0$ için en az $(3 / 2+\epsilon)^{-3 / 2}$ olduğu sonucuna varırız, yani en az $(2 / 3)^{3 / 2}$'dir. Benzer bir argümanla, dizinin üst limitinin (limit superior) her $\epsilon>0$ için en fazla $(3 / 2-\epsilon)^{-3 / 2}$ olduğunu sonucuna varırız. Sonuç olarak, istediğimiz gibi, $c_n \rightarrow(2 / 3)^{3 / 2}$ olduğu ortaya çıkar.

Kaynak: Mathematical Contests 1995-1996 Olympiad Problems and Solutions from around the World, 1997, Syf 126-127.