Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 1992 Soru 3  (Okunma sayısı 2277 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 1992 Soru 3
« : Ağustos 08, 2013, 03:41:17 ös »
$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1}$ pozitif reel sayıları $$\dfrac{1}{1+x_{1}}+\dfrac{1}{1+x_{2}}+\ldots +\dfrac{1}{x_{n+1}}=1$$ koşulunu sağlıyorsa $$x_{1}x_{2}\ldots x_{n+1}\ge n^{n+1}$$ olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:29:57 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1992 Soru 3
« Yanıtla #1 : Eylül 07, 2013, 04:44:36 ös »
$y_i=\dfrac{1}{1+x_i}$ dediğimizde soru  $y_1+y_2+\dots +y_{n+1}=1$ ve $x_1x_2\dots x_{n+1}=\dfrac{1-y_1}{y_1}\dfrac{1-y_2}{y_2}\dots \dfrac{1-y_{n+1}}{y_{n+1}}\ge n^{n+1}$ şekline dönüştü. $$\dfrac{1-y_1}{y_1}\dfrac{1-y_2}{y_2}\dots \dfrac{1-y_{n+1}}{y_{n+1}}=\dfrac{\left(y_2+y_3+\dots y_{n+1}\right)}{y_1}\dfrac{\left(y_1+y_3+\dots y_{n+1}\right)}{y_2}\dots \dfrac{\left(y_1+y_2+\dots y_n\right)}{y_{n+1}}$$ olacaktır. $n$ terimli $y_i$ toplamları için $A.O\ge GO$ uygularsak; $$\dfrac{y_2+y_3+\dots y_{n+1}}{n}\ge \sqrt[n]{y_2y_3\dots y_{n+1}}\Rightarrow \dfrac{y_2+y_3+\dots y_{n+1}}{y_1}\ge \dfrac{n\sqrt[n]{y_2y_3\dots y_{n+1}}}{y_1}$$ elde ederiz. $n+1$ adet terim için $A.O\ge GO$ uyguladıktan sonra taraf tarafa çarparsak $$\dfrac{\left(y_2+y_3+\dots y_{n+1}\right)}{y_1}\dfrac{\left(y_1+y_3+\dots y_{n+1}\right)}{y_2}\dots \dfrac{\left(y_1+y_2+\dots y_n\right)}{y_{n+1}}\ge n^{n+1}\dfrac{y_1y_2\dots y_{n+1}}{y_1y_2\dots y_{n+1}}=n^{n+1}$$ elde edilir.

Eşitlik durumu $y_1=y_2=\dots =y_{n+1}\Rightarrow x_1=x_2=\dots =x_{n+1}$ olduğunda elde edilir.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:29:33 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal