Tübitak Lise Takım Seçme 1991 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Bir havuzun ortasında yanyana sıralanmış $N$-tane taşın üzerinde bir kurbağa sıçrıyor. Kurbağa bulunduğu taştan $p$ olasılıkla soldaki, $1-p$  olasılıkla ise sağdaki taşa sıçrıyor. En soldaki taştan sola, ya da en sağdaki taştan sağa sıçrayan kurbağa suya düşüyor. Sol baştan $k$-ıncı taşta bulunan kurbağanın ilk olarak sağ uçtan suya düşme olasılığını $p_{k}$ ile gösterirsek; $p<\frac{1}{3}$ için $p_{1}>\frac{1}{2}$ olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

Kurbağanın ilk olarak sağ uçtan suya düşme olasılığı $p_k$,  $p$ olasılıkla sola atlayacağı için, $p\cdot p_{k-1}$; $\left(1-p\right)$ olasılıkla sağa atlayacağı için $\left(1-p\right)\cdot p_{k+1}$ ifadelerinin toplamına eşittir. $p_k=pp_{k-1}+\left(1-p\right)p_{k+1}$ elde edilir. Sorunun doğası gereği $p_0=0$, $p_{N+1}=p_{N+2}=\dots =1$ dir. ${\left(1-p\right)p}_{k+1}-p_k+pp_{k-1}=0$ doğrusal indirgemeli dizisinde $r_1=1$ ve $r_2=\dfrac{p}{1-p}$ çıkacaktır. $p_k={\left(\dfrac{p}{1-p}\right)}^kc_1+c_2$ dizisindeki sabit terimleri bulmaya çalışalım. $p_0=0$ olduğu için $c_2 = -c_1$ dir. $p_k={\left(\dfrac{p}{1-p}\right)}^kc_1-c_1=c_1\left({\left(\dfrac{p}{1-p}\right)}^k-1\right)$ . $p_{N+1}=1$ olduğu için $c_1=\dfrac{{\left(1-p\right)}^{N+1}}{p^{N+1}-{\left(1-p\right)}^{N+1}}$ elde edilir.
$$p_k=\dfrac{{\left(1-p\right)}^{N+1}}{p^{N+1}-{\left(1-p\right)}^{N+1}}\dfrac{\left(p^k-{\left(1-p\right)}^k\right)}{{\left(1-p\right)}^k}\Rightarrow p_1=\dfrac{{\left(1-p\right)}^{N+1}}{p^{N+1}-{\left(1-p\right)}^{N+1}}\left(\dfrac{2p-1}{1-p}\right)$$ $$\Rightarrow p_1=\dfrac{1}{{\left(\dfrac{p}{1-p}\right)}^{N+1}-1}\left(\dfrac{1}{1-p}-2\right)=\dfrac{1}{{1-\left(\dfrac{p}{1-p}\right)}^{N+1}}\left(2-\dfrac{1}{1-p}\right)>\dfrac{1}{{1-\left(\dfrac{p}{1-p}\right)}^{N+1}}\left(2-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}\right)$$ $$>\dfrac{1}{{1-\left(\dfrac{p}{1-p}\right)}^{N+1}}\cdot \dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{2}$$ elde edilir.