Tübitak Lise Takım Seçme 1990 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$ABCD$ konveks dörtgen ve
$$\begin{array}{rl}
E,F \in [AB],& AE  =  EF = FB \\
G,H \in [BC],& BG  =  GH = HC \\
K,L \in [CD],& CK  =  KL = LD \\
M,N \in [DA],& DM  =  MN = NA
\end{array}$$
dır.
$$ [NG] \cap [LE] = \{P\},  [NG]\cap [KF] = \{Q\},$$ $${[}MH] \cap [KF] = \{R\},  [MH]\cap [LE] = \{S\} $$
noktaları göz önüne alınıyor. Buna göre,

• $Alan(ABCD) = 9\cdot Alan(PQRS)$
• $NP = PQ = QG$

olduğunu ispat ediniz.

[geo]

$AFRM$ bir dışbükey dörtgen, $AF$, $FR$, $RM$, $AM$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $E$, $Q$, $S$, $N$ olsun. $ES \cap NQ = \{P\}$ olsun.
$EQ \parallel AR \parallel SN$ ve $QS \parallel FM \parallel EN$ olduğu için $EQSN$ bir paralelkenardır. Bu durumda $$EP=PS, PQ=PN \tag{1}$$ elde edilir. Yani, herhangi bir dışbükey dörtgende karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçalarının birbirlerini ortaladığını söyleyebiliriz.
$E$ nin $F$ ye göre simetriği $B$; $S$ nin $R$ ye göre simetriği $H$ olsun. $BH$ nin orta noktası da $G$ olsun. $FR$ ile $GP$ birbirini ortalayacağından ve $FQ=QR$ olduğu için $G,Q,P$ doğrusaldır.
$N$ nin $M$ ye göre simetriği $D$, $Q$ nun $R$ ye göre simetriği $K$; $P$ nin $S$ ye göre simetriği $L$, $G$ nin $H$ ye göre simetriği $C$ olsun. Elde ettiğimiz şekil ile soruda verilen şekil özdeş olur. Bu durumda $(b)$ şıkkındaki $NP=PQ=QG$ yi ispatlamış olduk. $\blacksquare$
$[AEPN]=A$, $[EFQP]=B$, $[FBGQ]=C$, $[NPSM]=D$, $[PQRS]=E$, $[GQRH]=F$, $[MSLD]=G$, $[SRKL]=H$, $[RHCK] = I$ olsun.
$ABGN$ dörtgeninde $FQ$ ile $EP$ doğru parçalarının belirlediği üç dörtgene odaklanalım.
$$3[BGQ] + 3[AEN] = [BGN] + [ABN] = [ABGN] = A+B+C \tag{2}$$ $$[EBQN] + [AEN]+[BQG] = 3([AEN] + [BQG]) \Rightarrow [EBQN]= \dfrac {2(A+B+C)}3 \tag{3}$$ $$[EPN]=[EPQ], [FQE]=[BFQ] \Rightarrow 2[EFQP] = [EBNQ] \Rightarrow [EFQP] = \dfrac {A+B+C}3 \tag{4}$$
Yani bir dörtgende karşılıklı iki kenar üçer eşit parçaya yukarıdaki gibi bölündüğünde, ortadaki parça dörtgenin alanının $1/3$ ü oluyor. Bu durumda, $[NGHM] = \dfrac {[ABCD]}3$ ve $[PQRS] = \dfrac {[NGHM]}{3}$ olacağı için $[PQRS] = \dfrac {[ABCD]}{9}$ dur. $\blacksquare$

[sgmx]

$b)$ $BD=e,$ $AC=f$ olsun. Şekil - 1 de $EN\Vert BD\Vert GL$ olduğundan $EN=e/3$, $GL=2e/3$ olur. $\triangle PNE\sim\triangle PGL\Longrightarrow PN/PG=1/2$ olur. Şekil - 2 de $FG\Vert AC\Vert NK$ olduğundan $FG=f/3$, $NK=2f/3$ olur. $\triangle QGF\sim\triangle QNK\Longrightarrow QG/QN=1/2$ olur. $PN/PG=1/2$ ve $QG/QN=1/2\Longrightarrow NP=PQ=QG$ olur. Benzer şekilde $EP=PS=SL$, $FQ=QR=RK$, $HR=RS=SM$ eşitlikleri bulunabilir.

$a)$ Şekil - 3 de benzer üçgenlerden rahatça görülebileceği üzere $PR=f/3$, $QS=e/3$ olur. Ayrıca $AC$ ve $BD$ köşegenleri arasındaki açıya $x$ dersek, paralellikten $PR$ ve $QS$ köşegenleri arasındaki açı da $x$ olur. O zaman:
\[
Alan(ABCD)=\frac{e\cdot f\cdot \sin x }{2}=9\cdot\frac{(e/3)\cdot(f/3)\cdot \sin x }{2}=9\cdot Alan(PQRS)
\]
olur.