Tübitak Lise Takım Seçme 1989 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$C_1$, $C_2$ verilen iki çember, $A_1$ noktası $C_1$ üzerinde ve $A_2$ noktası da $C_2$ üzerinde bulunan sabit noktalardır. $C_1$'in $A_1P_1$ kirişi, $C_2$'nin $A_2P_2$ kirişine paralel olduğuna göre $P_1P_2$'nin orta noktasının geometrik yerini bulunuz.

[geo]

Çemberlerin merkezleri $O_1$ ile $O_2$, $A_1P_1$ in orta noktası $M_1$, $A_2P_2$ nin orta noktası $M_2$ olsun. $A_1A_2$ nin orta noktası $A$, $O_1O_2$ nin orta noktası da $M$ olsun. $A$ ve $M$ sabit noktalardır. $P_1P_2$ nin orta noktasına $P$ diyelim. Bizden istenen $P$ nin geometrik yeri.
$A_1A_2P_2P_1$ yamuğunda $AP$ orta tabandır. $O_1$ den $AP$ ye paralel çizilen doğru ile $O_2M_2$ doğrusu $K$ da kesişsin. $M$ den $AP$ ye inilen dikme, $AP$ yi $N$ de, $A_1P_1$ i $Q$ da, $O_1K$ yı da $L$ de kessin. $O_2M$ doğrusu $A_1P_1$ yi $R$ de, $AP$ yi de $S$ de kessin.
$O_1M=MO_2$ olduğu için $O_1L=LK = QR = QM_1 = NS$ olacaktır. $M_1R = 2\cdot NS$, $RM_2 = 2\cdot SM_2$ ve $\angle M_1RM_2 = \angle NSM_2 = 90^\circ$ olduğu için $\triangle NSM_2 \sim \triangle M_1RM_2$ $(K.A.K)$. Yani $M_2, N, M_1$ noktaları doğrusal. $A_1A_2P_2P_1$ yamuğunda $M_1$ orta nokta ve $M_2$ orta nokta olduğu için $N$ de $AP$ nin orta noktasıdır. Ayrıca $MN \perp AP$ olduğu için $AM=MP=\text{Sabit}$tir. Bu durumda $P$ noktalarının geometrik yeri $M$ merkezli $A$ dan geçen çemberdir.

[sgmx]

$c_{1}$ in merkezi $O_{1}$, $c_{2}$ nin merkezi $O_{2}$ olsun. $O_{1}O_{2}$ nin orta noktası $M$, $P_{1}P_{2}$ nin orta noktası $P$ olsun. $A_{1}O_{1}\bigcap A_{2}O_{2}=K$ diyelim. $\angle A_{2}KA_{1}$ sabittir. Son olarak $O_{1}A_{1}\bigcap A_{2}P_{2}=L$ ve $O_{1}P_{1}\bigcap O_{2}P_{2}=T$ diyelim. Açılar yazılınca $\angle A_{2}KL=\angle O_{1}TO_{2}$ olduğu görülür. $c_{1}$ in yarıçapına $r_{1}$, $c_{2}$ nin yarıçapına $r_{2}$, $P_{1}O_{2}$ nin orta noktasına $N$ dersek, $MN=r_{1}/2$, $PN=r_{2}/2$ olur. $PN\Vert P_{2}O_{2}$ ve $MN\Vert O_{1}P_{1}$ olduğundan $\angle YTO_{1}=\angle PNM$ olur. $PN$, $MN$ ve $\angle PNM$ değerleri sabit olduğundan $PM$ de sabittir. O zaman $P_{1}P_{2}$ nin orta noktasının geometrik yeri, merkezi $O_{1}O_{2}$ nin orta noktası olan ve $P_{1}P_{2}$ nin orta noktasından geçen çemberdir.